На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что MN∥BC и BM=AN. Вычислите длину отрезка MN, если AB=28, AC=20, BC=36.

1. всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні: ab = bc = cd = ad 2. протилежні сторони квадрата паралельні: ab||cd, bc||ad 3. всі чотири кути квадрата прямі: ∠abc = ∠bcd = ∠cda = ∠dab = 90° 4. сума кутів квадрата дорівнює 360 градусів: ∠abc + ∠bcd + ∠cda + ∠dab = 360° 5. діагоналі квадрата мають однакової довжини: ac = bd 6. кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури 7. діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл: ac┴bd ao = bo = co = do = d 2 8. точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола 9. кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату: δabc = δadc = δbad = δbcd ∠acb = ∠acd = ∠bdc = ∠bda = ∠cab = ∠cad = ∠dbc = ∠dba = 45° 10. обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні: δaob = δboc = δcod = δdoa

, конечно, маловато. Обозначим треугольник АВС. С- прямой угол. Точки соприкосновения со стороной АС назовем К, а со стороной СВ - М. Заметим, что АС=АК+КС=9+3=12 см. Заметим, что СКОМ - квадрат, так как ОК перпендикулярно АС - так как АС - касательная к вписанной окружности. С - прямой угол по условию задачи. ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности. На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов по свойству сумм углов четырехугольника в евклидовой геометрии. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. 3 известных угла -прямые, значит на четвертый угол КОМ остается 360-3*90=360-270=90градусов. Заметим, что СК=ОК=3 см. Значит длина радиуса вписанной окружности равна 3 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S=0,5AC*CB=0,5*12*CB=6CB (1).

С другой стороны S=p*r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.
S=3*p.
S=3*0,5*(AC+CB+AB).
S=3*0,5*(12+CB+AB).
По теореме Пифагора
Или

Значит по-другому


Приравняем правые части уравнений (1) и (2). Найдем катет СВ.



Сократим обе части на 3.



Умножим обе части на 2







Возведем обе части в квадрат



Сократим обе части на слагаемое 144.



Перенесем все в одну часть





Сократим обе части на 8.





Первый ответ СВ=0 - не подходит по смыслу задачи. Второй ответ СВ=9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же теореме Пифагора

 









AB=15 см

ответ: неизвестный катет равен СB=9 см, гипотенуза равна AB=15 см.