( ) Доведите: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы;

Объяснение:

Первый Пусть M – середина катета AC прямоугольного треугольника ABC, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к катету BC с гипотенузой AB. По теореме Фалеса Q – середина гипотенузы AB, то есть  QA = QB.  Аналогично  QC = QA.  Следовательно, Q – центр описанной окружности треугольника ABC.

Второй Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую он опирается. Поэтому прямой вписанный угол опирается на диаметр.

а)
Допустим AK < BK (точка K ближе к вершине A) . 
Обозначаем  сторону основания правильной пирамиды
AB=BC =CD =DA =a ;
Пусть выполняется S(ABCD) =S(KPM) ⇔
a² =KM*PO/2 ⇔a² =KM*(1,5a)/2⇒KM= 4a/3 .  AB= a< 4a/3 < a√2 =AC ,.т.е   KM не ⊥ AD  и  KM не совпадает  с  диагоналями основания .
б)
Через центр основания  O проведем  EF ⊥ AD (тоже самое EF ⊥ CD), где 
E ∈ [AD]  ,   F ∈ [BC] .  || K∈[AE] ||
ΔOEK = ΔOFM  по второму признаку равенства треугольников   (OE=OF=AB/2 ;∠OEK =∠OFM=90°  и  ∠KOE =∠MOF-вертикальные углы) .
MF=KE . 
---
Sпол(PABMK) = S(ABMK) +S₁бок .
S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB ; AK +BM =(a/2 -KE) +(a/2 +MF)=a.
 ⇒S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB=a/2 *a =a²/2.
S₁бок  =S(APK) +S(BPM)+S(APB) +S(KPM) =AK*h/2+BM*h/2+a*h/2+a²=
 =(AK+BM)*h/2 +.a*h/2 +a² =a*h/2+a*h/2+a²  =a*h+a² .
 Sпол(PABMK)=a²/2+a*h+a²=3a²/2+a*h = (3a+2a*h)/2, где  h_длина апофема .  
ΔEPF  h =EP=√((a/2)² +PO²) =√(a²/4 +9a²/4) =(a√10)/2 .
---
Sпол(PABCD) = S(ABMK) +S₂бок =a²+4*a*h/2 =a²+2*a*h  ;
 Sпол(PABMK)/ Sпол(PABCD) =(3a²+2a*h )/2  : (a²+2*a*h)  =
 =a²(3+√10)/2 : a² (1+√10) =(3+√10) / 2(1+√10).

1.ΔСАМ-равнобедренный, АС-основание, угол САМ=углу МСА=68⇒угол МСВ=90-68=22
ΔВМС-равнобедренный, ВС-основание, угол МВС=углу МСВ=22
ответ: угол МВС=22
2.ΔABD-равнобедренный, АD-основание, угол ВАD=углу АDB=70
угол BDC=180-70=110(смежные углы)
DF-медианна, биссектриса и высота, т.к. ΔBDC-равнобедренный(BD=DC)⇒угол BDF=углу FDC=110/2=55
ответ: угол FDC=55
3.АМ=МС=12/2=6, т.к. ВМ-медианна, ΔАВО=ΔАОМ( О- точка пересечения биссектрисы и медианны) по катету и углу(АО-общий катет, угол ВАО=углу ОАМ, т.к. АD-биссектриса)⇒АВ=АМ=6, как соответствующие элелемты равных Δ
ответ: АВ=6