1 задание: окружность с центр в точке О. Описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и угол АВС=1.7 градусов. Найдите величину угла ВОС.2 задание: высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины С, делит основание АД на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания ВС.3: окружность с центром в точке О описана около равнобедренноно треугольника АВС, в котором АВ=ВС и угол АВС=66 градусов. Найдите величину угла ВОС.4: высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины С, делит основание АД на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания ВС.​

∠АОВ и ∠COD вертикальные,

∠ВОС и ∠AOD вертикальные.

Проведем:

ОЕ - биссектрису ∠АОВ,

OF - биссектрису ∠СOD,

OK - биссектрису ∠BOC,

OM - биссектрису ∠AOD.

Сначала докажем, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

∠ВОА и ∠ВОС смежные, значит их сумма равна 180°:

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

Биссектрисы разбили эти углы на пары равных углов:

∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, значит

2 ·∠2 + 2 ·∠3 = 180°

2(∠2 + ∠3) = 180°

∠2 + ∠3 = 90°, значит

ОЕ⊥ОК.

∠СОВ и ∠COD смежные, значит и их биссектрисы пересекаются под прямым углом:

OF⊥OK.

Углы ЕОК и FOK имеют общую сторону ОК и составляют в сумме 180°, значит они смежные, следовательно стороны ОЕ и OF являются дополнительными лучами, т.е. лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

  Дано :  <ABC = <ABD =<CBD =90; AB =1 ;  BC =3 ; CD =4 .
1)
а) проекцию BD на плоскость ABC   = 0,  т.к .   BD  ┴    (ABC)    DC┴  BA  DC ┴   BC);
 б)  AB ┴   (DBC)      т.к .  AB┴ BD  и  AB┴ BC.  
Значит   <ADB  это   угол  между прямой AD и плоскостью DBC  
следовательно   :
  из  ΔADB :     sin (<ADB) =AB/AD . 
ΔCBD :      DB = √(DC² -BC²) =√(4² -3²)  =√7.
ΔABD :  AD =√(DB² +AB²) =√(7 +1) =2√2 .

sin (<ADB) =AB/AD  =1/(2√2) =(√2 ) /4 .

г)    (BCD) перпендикулярно (BCA)
BCD проходит  по прямой  BD    которая   ┴( ABC) .

2)   ABCD_ ромб  ;
AB=BC =CD =DA = BH =b ; < A =< C =60° ;  HB ┴(BAC) или тоже самое
HB ┴(ABCD)
а) Определите угол между плоскостями: BHC и DBY .
Y --- неизвестно
Определить угол между плоскостями: BHC и DBH :
(BHC) ^  (DBH) =  <DBE =60° .  DB ┴ BH ,CB┴ BH   лин.  угол    [ HB ┴((ABCD)⇒HB ┴BD  
б) Определить   угол между плоскостями  DНC и BAC  .
В   ΔHDC    проведем  HE ┴ CD   ( E∈ [CD] )   и E  соединим с вершиной B.
 <BEH  будет искомый угол ; 
tq(<BEH) =BH/BE = b :(b*√3)/2  =2/√3 ; [Δ BEC :   B E =BC*sin60°=b*√3/2 ] .

<BEH = arctq(2/√3).