Величина кута ABC дорівнює 140°. Промінь BD лежить між сторонами кута ABC. Знайдіть величину кута ABD, якщо ABD:DBC = 2:5 ​

ABD=40°

Объяснение:

Нехай k-коефіціент пропорційності , тоді ∡ABD=2k,∡DBC=5k

Отже , 2k+5k=140°

            7k=140°

             k=140/7

              k=20°

Тому ,∡АВD=k*2=20*2=40°

∡DBC=k*5=20*5=100°

Обозначим данный треугольник АВС, ∠С=90°, ∠А=30°, ВК- биссектриса ∠АВС, КМ⊥АВ. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

∠САВ=30°, ∠АВС=60°. 

Биссектриса делит угол пополам, ⇒∠КВС=∠КВМ=30°

Прямоугольные ∆ КВС=∆ КВМ по острому углу и общей гипотенузу. ⇒

КС=КМ. 

В ∆ АКМ катет КМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы АК (свойство). 

Примем КМ=а

Тогда АК=2а

Так как КС=КМ, то АС=3а

3а=18,  а=6 см. 

КС=а=6 см, КА=18-6=12 см

           * * * 

Решить задачу можно разными Например,  по т. Пифагора найти АВ и ВС и применить и свойство биссектрисы, которая делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон. Можно воспользоваться функциями острых углов, - это зависит от темы, которую в настоящее время проходите,  но данное решение самое простое. 

Окружность проведена через А, следовательно, А лежит на окружности. 

АВ и АD - равные стороны вписанного угла ВАD, поэтому его биссектриса АС проходит через центр окружности и  является её диаметром . 

∠АВС=∠АDC=90°- опираются на диаметр. 

Треугольники АВС и АBD равны по катету и гипотенузе,  поэтому площадь каждого равна половине площади четырехугольника АВСD - равна 1,5√3

Площадь прямоугольного  треугольника  равна половине произведения его катетов. 

S ∆ АВС=АВ•BC:2

BC=2S:AB=3√3):3=√3

ВС:АВ=tg∠ВАС

tg∠BAC=√3):3=1:√3. Это тангенс угла 30°. 

Тогда, так как ∠ВАС=∠DAC, угол ВАD=60°              

* * * 

Если А - центр окружности, результат будет тот же, но решение немного другим Тогда АВ=АС=AD=R

AB+AD=6  AB=AD=AC=6:2=3⇒ R=3

АС - биссектриса. ∠ВАС=∠DAC⇒∆ ABC=∆ ADC  по 1 признаку равенства треугольников. 

S∆ ВАС=S∆DAC= S ABCD:2

sin BAC=2•SBAC:AB²⇒

sin BAC=3√3):9=√3:3=1/√3  - это синус 30°

Тогда, т.к. АС биссектриса, угол ВАD=60° Это ответ. 

----------