Дан треугольник АВС с вершинами А(-4;6), В(3;2), С(-3;-4) . Напишите уравнение медианы АМ

Давайте рассмотрим данный вопрос.

a) Чтобы доказать, что PK*BK=AK*KC, мы можем использовать теорему подобных треугольников.

Рисунок не особо четкий. Но похоже, что мы имеем дело с прямоугольной трапецией ABCD, где AB || CD, и AK является диагональю.

Воспользуемся подобными треугольниками APK и KBC. Обратите внимание, что треугольники APK и KBC имеют общий угол при вершине K.

Теперь, поскольку AK является диагональю трапеции, то AK разбивает ABCD на два равных треугольника ABK и KCD, так как диагональ трапеции делит ее пополам.

Дано, что AK:KB=2:7, что означает, что отношение длин AK и KB равно 2:7. А значит, длина AK в 2 раза больше длины KB.

Теперь взглянем на треугольники. Треугольник APK подобен треугольнику KBC, поскольку у них есть общий угол и они имеют пропорциональные стороны. Конкретно, отношение стороны AK к стороне KC равно 2:7, так же, как и отношение стороны KB к стороне KA.

Теперь давайте сравним произведения сторон в треугольниках APK и KBC. Умножим сторону PK на сторону BK в треугольнике APK. Получим PK * BK.

Теперь умножим сторону KC на сторону AK в треугольнике KBC. Получим AK * KC.

По построению, длина AK в 2 раза больше длины KB. Значит, PK * BK = AK * KC, и мы доказали, что PK * BK = AK * KC.

b) Теперь найдем отношение площадей и периметров треугольников APK и KBC.

Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Поэтому, чтобы найти отношение площадей треугольников APK и KBC, мы должны возвести в квадрат отношение длин сторон AK и KC, которое равно 2:7.

Так как 2/7^2 = 4/49, то отношение площадей равно 4/49.

Чтобы найти отношение периметров треугольников APK и KBC, нужно просто сложить соответствующие стороны.

Периметр треугольника APK равен AK + PK + KA = AK + PK + KB.

И периметр треугольника KBC равен KC + KB + BC = KC + KB + KA.

Мы знаем, что отношение сторон AK и KB равно 2:7, поэтому отношение периметров также равно 2:7.

Это значит, что отношение периметров треугольников APK и KBC равно 2:7.

Итак, мы доказали, что PK * BK = AK * KC, а также найдены отношения площадей и периметров треугольников APK и KBC.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство равнобедренного треугольника, что основания высоты разделяет основание на две равные части (BD = DC).

1. Дано, что длина высоты BD равна 9 см. Так как основание треугольника разделено высотой на две равные части, то DC также равно 9 см.

2. Теперь мы можем вычислить длину основания AC, используя теорему Пифагора. Для этого мы знаем, что боковая сторона BC равна 18 см (длина боковой стороны равна диагонали равнобедренного треугольника). Поэтому, мы можем найти AC следующим образом:
AC = 2 * DC = 2 * 9 см = 18 см.

3. Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения углов.

- Угол BAC:
Используя теорему косинусов, мы можем записать:
cos(BAC) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)
Подставляя известные значения, получаем:
cos(BAC) = (18^2 + 18^2 - 9^2) / (2 * 18 * 18) = (324 + 324 - 81) / 648 = 567 / 648
Приводим полученное значение к десятичному виду:
cos(BAC) ≈ 0.875
Находим арккосинус этого значения, чтобы найти угол BAC:
∡ BAC = arccos(0.875) ≈ 29.69°

- Угол BCA:
Так как треугольник равнобедренный, то ∡ BCA равно ∡ BAC.
∡ BCA = 29.69°

- Угол ABC:
Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить ∡ ABC:
∡ ABC = 180° - ∡ BAC - ∡ BCA
∡ ABC = 180° - 29.69° - 29.69° = 120.62°

Таким образом, угол ∡ BAC ≈ 29.69°, угол ∡ BCA ≈ 29.69°, угол ∡ ABC ≈ 120.62°.