Вправильной треугольной пирамиде каждое из боковых ребер равно m и наклонено к основанию под углом a, определите радиус шара, описанного около этой пирамиды

  легко сводится к плоской - надо в прямоугольном треугольнике с острым уголом а и гипотенузой m найти такую точку на катете, противолежащем углу а, чтобы расстояния от этой точки до концов гипотенузы были равны. 

(в нашей этот треугольник образован боковым ребром, его проекцией на основание и высотой пирамиды. центр шара лежит на высоте пирамиды и равноудален от концов ребра.)

эта , конечно, проcтая, и может быть решена "в лоб" десятком способов. мне нравится такой -

продлим катет, противолежащий а, за вершину прямого угла и из вершины угла а проведем перпендикуляр к гипотенузе до пересечения с этим продолжением. полученная точка лежит на окружности с центром в искомой точке, и отрезок   между этой точкой и вторым концом гипотенузы есть диаметр окружности. (в начальной эта окружность есть центральное сечение шара через ребро пирамиды.) ясно, что получившийся прямоугольный треугольник имеет угол, противолежащий m, равный а. поэтому ответ сразу выписывается : )

r = (1/2)*m/sin(a);

120 пополам - 60градусов(т.к провели биссектрису)углы при основании равны 30 градусам(180-120 и пополам)после провели расстояние от основания биссектрисы, тоесть перпендикуляр, получился прямоугольный треугольник с одним из углов при основании, это расстояние лежит против угла в 30 градусов, а значит равно половине гипотенузы(гипотенуза равна 24).далее в равнобедренном треугольнике биссектриса является и высотой и медианой,значит основание делется на два равных отрезка, один из этих отрезков - наша гипотенуза, основание равно 12 на 2 = 24см

Δавс - прямоугольный (∟b = 90 °).  δа 1 в 1 с 1 - прямоугольный (∟b 1 = 90 °).  ав = а 1 в 1 . bn - высота (bn ┴ ас).  в 1 n 1 - высота ( в 1 n 1 ┴ a 1 c 1 ).  bn - b 1 n 1 . доказать: δавс = δ а 1 в 1 с 1 .  доведения:   по условию: bn - высота (bn ┴ ас), тогда ∟bnc = ∟bna = 90 °.  аналогично b 1 n 1 - высота, ∟b 1 n 1 c 1 = ∟b 1 n 1 a 1 = 90 °.  рассмотрим δbna и δb 1 n 1 a 1 .  по условию bn = b 1 n 1 и ba = в 1 а 1 ; ∟bna = ∟b 1 n 1 a 1 = 90 °.  по признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: δbna = δ b 1 n 1 a 1 .  отсюда ∟a = ∟a 1 .  рассмотрим δавс и δ а 1 в 1 с 1 .  ∟a = ∟a 1 ; ∟abc = ∟ а 1 в 1 с 1 = 90 °. ab = a 1 b 1 .  по признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: δавс = δ а 1 в 1 с 1