Периметр прямокутника 80см, а одна з його сторін у 4 рази менша від іншої. Знайти сторону квадрата, що має таку саму площу, як і прямокутник

Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой проведена. 
Сторона, к которой проведена высота, равна 3+12=15 м. 
Высоту нужно найти. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒
h²=3*12=36
h=√36=6 (м)
Ѕ=h*a:2
S=6*15:2=45 м²
Периметр - сумма всех сторон многоугольника. В данном случае сумма длин катетов и гипотенузы:
Р=a+b+c
а=√(3*15)=3√5 м
b=√(12*15)=6√5 м
Р=15+9√5 (м)
Катеты можно найти и по т. Пифагора, затем найти площадь половиной их произведения.  


1)

Центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем.

----------

  Образующая конуса L- радиус окружности с центром В, частью которой является его развертка АВС.

Формула длины окружности =2πR =2πL, где L- образующая конуса.

  Т.к. угол АВС=120°, а полная окружность содержит 360°, длина дуги АС=1/3 длины окружности, содержащей развертку конуса.

◡AC=2πL/3

  В то же время дуга АС этой окружности равна длине окружности основания конуса.

2πr=2πL/3 ⇒ L=3r

  Из треугольника, образованного высотой конуса и радиуса ( катеты) и образующей ( гипотенуза)  найдем по т.Пифагора радиус основания конуса.

L²-r²=h²

9r²-r²=32

r²=32:8=4

V(кон)=πr²•h/3

V=(π4•4√2):3=(π16√2):3 

  (ед. объёма)

2)

  В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.

   Правильная пирамида МАВС – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник АВС, а вершина М пирамиды проецируется в центр О этого треугольника.

   Образующей вписанного в пирамиду конуса является апофема пирамиды, а основание этого конуса ограничено окружностью, вписанной в основание пирамиды, т.е. в ∆ АВС.

   Радиус  конуса равен 1/3 высоты СН  правильного треугольника АВС

   Расстояние от вершины С основания АВС до грани АМВ - высота треугольника СМН, плоскость которого перпендикулярна грани АМВ и основанию АВС.

   Угол α образован прямыми СН и МН, перпендикулярными ребру АВ в точке Н.

r=OН=(КС:sinα):3=(m:sinα):3 =m:3sinα ⇒

высота МО=OH•tgα=(m:3sinα):sinα/cosα=m:3cosα