.Три дороги утворюють трикутник АВС. При цьому А = 20°, В = 150°. АВ = 100 км. Автомобіль, що знаходиться в точці А, хоче попасти в пункт С найскоріше. АС і СВ – ґрунтові дороги, АВ – шосе. Швидкість по шосе у 2 рази більше, ніж по ґрунтовій дорозі. Який маршрут йому обрати?

Подставляем координаты точек в левую часть уравнения. Если получаем 16, то точка принадлежит окружности. Если получаем число меньше 16, то точка лежит внутри окружности. Если же получим число больше 16, то точка лежит снаружи. Проверим все точки по очереди. Подставим А(1;-2): (1+5)^2+(-2-1)^2=36+9=45, значит т.А снаружи. Подставим В(3;4): (3+5)^2+(4-1)^2= 64+9=73, значит В тоже снаружи. Подставим C(-2;4): (-2+5)^2+(4-1)^2=9+9=18>16, значит С тоже снаружи. Подставим D(-5;-3): (-5+5)^2+(-3-1)^2=0+16=16, значит D лежит на окружности. Наконец, проверим Е (-7;-2): (-7+5)^2+(-2-1)^2=4+9=13<16, значит Е лежит внутри окружности.

Основание пирамиды - правильный треугольник АВС с высотой АН=(√3/2)*9.
Треугольники АВС и АМL подобны с коэффициентом подобия 9/6.
Значит ML=ВС*6/9=6, АО=АН*6/9=3√3.
Проведем КР параллельно высоте пирамиды. Тогда треугольники ASO и AKР с коэффициентом подобия 12:9.
Высота пирамиды SO =√(AS²-AO²) или SO =√(144-27)=√117.
Значит КР=SO*(9/12) или КР=(9/12)*√117. АР=АО*9/12 или АР=9√3/4.
Тогда РО=АО-АР или РО=3√3-9√3/4=3√3/4.  КО (высота сечения) по Пифагору: КО=√(КР²+РО²) или КO =√(117*81/144+27/16)=√(9234/144)=18√30/12=3√30/2.
Тогда площадь сечения равна (1/2)*LM*KO или
S=(1/2)*6*3√30/2=9√30/2=4,5√30 ед². Это ответ.