Из точки вне окружности, удаленно на 13см от центра окружности, проведена секущая, пересекающая окружность в точках, расстояние между которыми равно 7см. Найдите расстояние от этих точек до данной, если кротчайшее расстояние от данной точки до окружности равно 6 см

Окружность вписана в трапецию АВСD

Значит из точек А,И,С,D к окружности проведены касательные.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точки касания

ОК⊥ВС

ОМ⊥СD

OP⊥AD

OT⊥AB

⇒ ОС, ОВ, ОА и ОD - биссектрисы углов трапеции

Отрезки касательных, проведённых из одной точки,  равны. (См рис. )

КМ = СМ = 1 см

РD = DM = 4 см

ВК=ВТ=АТ=AP=r

Так как сумма углов, прилежащих к стороне CD  равна 180°

А биссектрисы делят угол пополам, то Δ СOD  прямоугольный.

∠СOD=90°

ОM^2=CM·MD

OM^2=1·4

OM=2

r=0M=2

BC=2+1=3 cм

AD=2+4=6 cм

АВ=2+2=4 см

S( трапеции)=(BC+AD)·AB/2=(3+6)·4/2=18 cм²

Расстоянием от точки до прямой называется длина кратчайшего перпендикуляра. таким образом, необходимо опустить перпендикуляр из точки с на прямую sa. для этого достроим равнобедренный треугольник sca и перпендикуляр сk, при чем k лежит на самой стороне sa, так как угол sca острый. обозначим ck за х. тогда по т. пифагора: х^2+sk^2=sc^2 x^2+ak^2=ac^2. отсюда приравняем: sc^2-sk^2=ac^2-ak^2. 4-sk^2=sqrt2(диагональ через 1 вершину в правильном шестиугольнике в sqrt2 раза больше стороны, т.е. ac=ab*sqrt2=-sk)^2. 4-sk^2=sqrt2-(4-4sk+sk^2). 4-sk^2=sqrt2-4+4sk-sk^2. 4=sqrt2-4+4sk. 4sk=8-sqrt2. sk=2-(sqrt2)/4. kc^2=sc^2-sk^2=4-(4-sqrt2+1/8)=sqrt2-1/8. kc=sqrt(sqrt2-1/8).