Лучи ВAи ВC пересекают параллельные плоскости α и β в точках А1, А2 и С1, С2 соответственно. Найдите длину отрезка А1А2, если ВА1 = 9 см и А1С1 : А2С

Средняя линия разделена на два отрезка. Первый длиной 5,5- средняя линия треугольника, поэтому верхнее основание в два раза большей средней линии треугольника и равно11
Нижнее основание в два раза больше средней линии другого треугольника и равно 25

Угол 1 равен углу 2 так как диагональ биссектриса
Угол 3 равен углу 1 как внутренние накрест лежащие
Значит угол 2 равен углу 3
Треугольник с этими углами равнобедренный и боковая сторона равна большему основанию 25

Проведем высоты с вершин верхнего основания на нижнее.
Получим два равнобедренных треугольника, с катетами (25-11):2=7
По теореме Пифагора высота
h²=25²-7²=(25-7)(25+7)=18·32=9·64=(3·8)²=24²
h=24
S=(a+b)·h/2=(11+25)·24/2=432 кв. см

Дан прямоугольник ABCD, ∠CAD:∠CAB=4:5.

Углы прямоугольник равны по 90°.

Пусть ∠CAD=4x, тогда ∠CAB=5x.

∠CAD+∠CAB=∠DAB

4x+5x=9x=90°

x=90°:9=10°

∠CAD=4x=40°

Диагонали в прямоугольнике делятся точкой пересечения пополам.

Пусть AC∩BD=O, тогда AO=DO

В равнобедренном ΔAOD (O-вершина) углы при основании равны. ∠ODA=∠OAD=40°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Откуда ∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=180°-40°-40°=100°

∠AOD>90° ⇒ угол между диагоналями это ∠AOB, смежный с ∠AOD.

∠AOB=180°-∠AOD=180°-100°=80° по свойству смежных углов.

ответ: 80.