Сторона основания правильной четырехугольника призмы равна 10 см диагональ призмы образуется с плоскостью основания угол 45°. найдите а) диагональ призмы б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой гранив) площадь боковой поверхности призмы г) площадь течения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания

1) из δвв1d - прям.: l bdb1= 45⁰, тогда и l db1b = 45⁰, значит δdbb1-равнобедр.       и вв1=bd,   b1d = bd·√2

2) из δ авd - прям.равноб.: bd= ad·√2 =10√2 (см)  

    ( катет и гипотенуза отличаются в √2 раз), тогда dв1 = 10√2·√2=20  (см).

3)из δb1dc1- прям.: sin   lb1dc1 = b1c1/b1d = 10/20 = 0,5

                                  lb1dc1 = 30⁰.

4) s бок = р осн·н= 4·аd  ·bb1=4·10·10√2=400√2 (cм²).

5) сечение - прямоугольник ав1с1d:   sсеч = ad·dc1

из δ в1с1d : dc1= √20²-10²=  √300= 10√3 

  sсеч = ad·dc1= 10·10√3=100√3 (cм²). 

Т.к. of соединяет середины сторон треугольника abc, то этот отрезок - средняя линия треугольника, значит of ii ab, of=1/2*ab по условию of=od, значит od=1/2*ab и df=of+od=ab т.к. точка d лежит на луче of, то df ii ab (параллельность of стороне ab доказана выше). таким образом, стороны ab и df равны и параллельны. используем один из признаков параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм. значит abfd является параллелограммом.

Пусть дан ∆АВС, точки О, Р, М – середины сторон АВ, ВС, АС соответственно; АВ=х, ВС=у, АС=a.

Так как ОР – отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника, то ОР – средняя линия, следовательно она равна половине третьей стороны. То есть ОР=0,5*АС=0,5а

Так как РМ – отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника, то РМ – средняя линия, следовательно она равна половине третьей стороны. То есть РМ=0,5*АВ=0,5х

Так как ОМ – отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника, то ОМ – средняя линия, следовательно она равна половине третьей стороны. То есть ОМ=0,5*ВС=0,5*у

Р(∆АВС)=АВ+ВС+АС=х+у+а

Р(∆АВС)=18 см по условию.

Тогда х+у+а=18

Р(∆ОРМ)=ОР+РМ+ОМ=0,5а+0,5х+0,5у=0,5*(а+х+у)

Поставим значение суммы х+у+а в полученное выражение:

Р(∆ОРМ)=0,5*18=9 см.

ответ: 9 см