Отношение высоты конуса к ее образующей состовляет 35:37. Площадь боковой поверхности конуса равна 444 кв.ед. Найдите объем конуса.

1. ΔABC-правильный . R и r-радиусы вписанной и описанной окружностей. Выразите R через r.

a₃ = 2r√3 и a₃ = R√3 ⇒   2r√3= R√3 ,    R=2r.

4. Найдите площадь равностороннего треугольника, вокруг которого описано окружность радиуса 3 см.

a₃ = R√3  ⇒ a₃ = 3√3 см            

S(равностороннего треуг.)=   ⇒ S(равн.треуг.)=    = (cм²)

5. Определите количество сторон правильного многоугольника углы которого равны 160 градусов.

Многоугольник правильный , поэтому сумма всех внутренних углов 160*n .  

160*n=180(n-2)   , 160n=180n-360   , 20n=360   , n=18. Количество сторон 18.

((n-2)/n*180- формула для нахождения углов в правильном многоугольнике )

6. В правильный треугольник ,сторона которого 4√3 cм, вписана окружность.  Вокруг окружности описан квадрат. Найдите сторону квадрата.

a₃ = 2r√3 ,  4√3= 2r√3  ⇒ r=2 см.

Квадрат описан около окружности, значит сторона квадрата равна

a₄ =2r или  a₄ =4см.

Точка D выбирается так, что

угол BDA = угол CBA; Обозначим его за Ф.

тогда в треугольниках АВС и ABD все углы попарно равны;

Сторона АВ в ABD соответствует стороне АС в АВС - это видно из соответствия углов и сторон; 

Поэтому ABD имеет все линейные размеры в 3/2 раза больше (его стороны равны 3; 4,5; 6). То есть BD = 6.

Отсюда, кроме того, DC = 2,5. 

Надо вычислить длину медианы DM в треугольнике BDC.

См чертеж. Из достроенного тр-ка CDD1 (СD1 II BD) по теореме косинусов

(2*m)^2 = x^2 + z^2 + 2*x*z*cosФ;

А из тр-ка BDC 

y^2 = x^2 + z^2 - 2*x*z*cosФ; здесь y = ВС.

Складываем, и получаем выражение для квадрата медианы через квадраты сторон :)))

m^2 = (2*x^2 + 2*z^2 - y^2)/4; Подставляем x = 6, y = 4, z = 2,5.

получаем 

m = корень(30)*3/4

 

Я добавил чертеж, поясняющий, как строится треугольник BDA