Знайдіть сторону паралелограма, площа якого 40 см а висота проведена до цієї сторони 5 см

Биссектриса разделяет прямоугольный треугольник на два треугольника. Под углом 80 градусов означает, что угол, совместный с данным по развернутой гипотенузе равен 180-80=100. Больший угол прямоугольного треугольник - 90 градусов. значит углы, на которые разделила биссектриса равны 90/2=45. значит у нас известны по два угла каждого треугольника . Из этого мы можем вычислить остальные два угла, которые и являются неизвестными углами прямоугольного треугольника. 180-80-45=55 градусов и 180-100-45=35 градусов

1. См. рис.1. Найти отрезок КР.   КР = МН – МК – РН.

Т.к. МН – средняя линия трапеции, то  МК  и РН – средние линии треугольников АВС и ДВС. У этих треугольников общее основание ВС.  Следовательно МК = РН = ВС/2 = 8/2 = 4 см. Т.к. МН – средняя линия трапеции , то МН = (АД+ВС)/2 = (16 + 8)/2 = 12 см. Таким образом, КР = 12 -4 -4 = 4 см.

2. См. рис.2.  Синие линии нужны для объяснения принципа построения. При построении требуемой прямой их, естественно, не будет.

Внутри угла А поставлена точка М. Через эту точку проведена прямая, пересекающая  лучи «а» и «е» в точках С и В соответственно.  Если эта линия будет проведена правильно, то в получившемся треугольнике АСВ  МА будет медианой, поскольку должно выполниться условие СМ = МВ.  Медиана делит площадь треугольника пополам.  Т.е. площадь треугольника АВМ должна равняться площади треугольника АМС.  Значит, площадь треугольника АВС должна равняться двум площадям треугольника АВМ. Эти треугольники (АВС и АВМ) имеют общее основание АВ. Отсюда следует, что высота РС треугольника АВС должна быть в два раза больше высоты МК треугольника АВМ. Вот это обстоятельство и необходимо использовать при построении.  Теперь забыли про синие линии. Их нет.  

Из точки М опустим перпендикуляр (МК)  на любой из лучей угла, например, на луч «е».  Затем проведем прямую параллельно лучу «е» на расстоянии СР = 2МК. Пересечение этой прямой с лучом «а» даст точку С. Проведя прямую через точки М и С построим требуемую линию.

3. См. рис. 3.  Требуемое условие будет выполняться, если НК будет параллельна АС. Опять же синяя линия для объяснения принципа.  Если НК параллельна АС то треугольники АВД  и НВЕ подобны. Так же подобны и треугольники СДВ и КЕВ. Для первой пары подобных треугольников ВД/АД = ВЕ/НЕ.  Для второй пары ВД/СД = ВЕ/ЕК. Из этих двух соотношений вытекает, что АД/ДС = НЕ/ЕК. А поскольку АД = ДС, то и НЕ = ЕК. Таким образом, что бы выполнилось требуемое условие НК должен быть параллелен АС.