Даны угол и окружность, расположенная внутри угла. Найдите на окружности такую точку, для которой сумма расстояний от нее до сторон угла имеет наименьшее значение

Объяснение:

А) докажем что АВNM - прямоугольник.

Имеем 2 параллельные плоскости - основания цилиндра. Плоскость, проходящая через хорду АВ перпендикулярна прямой CD, лежащей в плоскости основания. Значит плоскость сечения перпендикулярна плоскостям основаниий цилиндра, а т.к. цилиндр прямой, то и высоты цилиндра AM и BN, образованные сечением ABNM перепендикулярны плоскостям оснований. В результате получаем четырёхугольное сечение, все внутренние углы которого прямые. Это - прямоугольник.

Диагонали прямоугольника равны!

Б) Найдём объём пирамиды CABNM.

Формула вычисления объёма пирамиды

V=1/3·S·h, где S-площадь основания, h-высота пирамиды.

Очевидно, что S=8*3=24.

Найдём h=CD₁.

Используем свойство хорд: если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

В нашем случае хордами выступают MN=AB=R и CD=2R.

Хорда MN делится на MD₁=ND₁, т.к. хорда CD является диаметром и пересекает хорду MN под прямым углом, разделяя её пополам.

Составим уравнение, обозначив за х D₁D - меньшую часть хорды CD отсеченную плоскостью ABNM:

x·(2R-x) =0.25R²

Для удобства дальнейших расчетов подствим вместо R числовое значение:

х·(16-х)=16

х²-16х+16=0

D=16²-4*16=192

x₁=(16+√192)/2=8+4√3

x₂=(16-√192)/2=8-4√3

Здесь решение x₁ - это случай, когда точка D и центр основания лежат по одну сторону от плоскости сечения (т.к. в нашем случае там находится точка С, то это и есть высота пирамиды,

а х₂ - это отрезок DD₁ изначально принятый за х.

Значит DD₁=8-4√3 и проверим высоту пирамиды

h=CD₁=(2R-x)=16-8+4√3=8+4√3 (совпало с х₁) - это можно выпустить. Простая проверка.

V=1/3·S·h=1/3·24·(8+4√3)=64+32√3 кубических единиц.

Получается, у нас правильная треугольная пирамида, т.к n=3 (в основании - равносторонний треугольник).

Sосн=
(классическая формула площади равностороннего треугольника)

От центра треугольника до вершины (отрезок от высоты, поделенный в отношении 2:1, считая от вершины) равен

Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен y, т.е угол при основании Р/б треугольника равен у
Апофема будет равна tgy=X×(2/a)
X=(tgy×a)/2
Площадь боковой поверхности равна 1/2×3а×(tgy×a)/2 = (3a^2tgy)/4.

P.S. В решении была допущена ошибка, поэтому при исправлении нельзя пользоваться " создания формул". Извиняюсь за корявость ;)