Катет АВ прямокутного трикутника АВС ( кут А = 90°) дорівнює 8 см. Знайдіть другий катет і гіпотенузу, якщо кут В дорівнює 30°.

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠ДВС=120°, АВ+ВС=24 см.

Найти АВ, ВС.

По свойству смежных углов ∠ДВА+∠СВА=180°, тогда

∠СВА=180-∠ДВС=180-120=60°.

По свойству острых углов прямоугольного треугольника

∠А=90-∠СВА=90-69=30°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому АВ - большая сторона. Против меньшей стороны лежит меньший угол, поэтому ВС - меньшая сторона.

ВС=1\2 АВ по свойству катета, лежащего против угла 30°.

Составим уравнение: АВ+1\2 АВ = 24;  1,5 АВ = 24;  АВ=16 см.

ВС=16:2=8 см.

ответ: 8 см, 16 см.

Внешний угол треугольника - это угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Т.к. треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90°, тогда сумма острых его углов тоже равна 90°. Угол, смежный с прямым углом, тоже прямой.

По условию один из внешних углов равен 120°, тогда смежный с ним внутренний равен 180° - 120° = 60°. Тогда втрой острый угол прямоугольного треугольника равен 90° - 60° = 30°.

Таким образом, прямоугольный треугольник имеет углы 90°, 60° и 30°.

Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, т.е. против прямого угла, и эта сторона - гипотенуза.

Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, т.е. - это катет, лежащий против угла в 30°.

Есть такое свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

По условию сумма наибольшей и наименьшей сторон прямоугольного треугольника равна 18 см, т.е. это сумма катета, лежащего против угла в 30° и гипотенузы.

Пусть катет равен х см, тогда гипотенуза равна (2х) см. Составим и решим уравнение:

х + 2х = 18,

3х = 18,

х = 18 : 3,

х = 6.

Значит, катет равен 6 см, тогда гипотенуза равна 2 · 6 = 12 (см)

ответ: 12 см и 6 см.