Вписанные треугольники 1) Треугольник ABC вписан в окружность с радиусом 5 см. Рассчитать расстояние от центра пересечения до края AB, если AB= 8 см.

1.ΔСАМ-равнобедренный, АС-основание, угол САМ=углу МСА=68⇒угол МСВ=90-68=22
ΔВМС-равнобедренный, ВС-основание, угол МВС=углу МСВ=22
ответ: угол МВС=22
2.ΔABD-равнобедренный, АD-основание, угол ВАD=углу АDB=70
угол BDC=180-70=110(смежные углы)
DF-медианна, биссектриса и высота, т.к. ΔBDC-равнобедренный(BD=DC)⇒угол BDF=углу FDC=110/2=55
ответ: угол FDC=55
3.АМ=МС=12/2=6, т.к. ВМ-медианна, ΔАВО=ΔАОМ( О- точка пересечения биссектрисы и медианны) по катету и углу(АО-общий катет, угол ВАО=углу ОАМ, т.к. АD-биссектриса)⇒АВ=АМ=6, как соответствующие элелемты равных Δ
ответ: АВ=6

Можно не прибегая к вычислениям сказать, что если длина увеличивается в 8 раз, то площадь увеличивается в 8*8=64 раза, а объем увелиится в 8*8*8=512 раз.

 

Если вспомнить формулу объема пирамиды,то она равна

 

 

S - основание пирамиды, которое является правильным треугольником. Если его сторону увеличить в 8 раз, то исходный и полученный треугольники будут подобными как правильные треугольники. Только у получившегося треугольника сторона в 8 раз больше. По теореме о подобных треугольниках площадь у получившегося треуголника больше во столько же раз как и коэффициент подобия в квадрате, то есть в 8*8=64 раза.

 

h - высота пирамиды. Она тоже увеличиться в 8 раз, так как увеличивается ребро пирамиды и высота треугольника, являющегося в основании пирамиды. Ведь высота пирамиды получается из треугольника, где гипотенузой является ребро пирамиды (увеличено в 8 раз), катета, лежащего в основании пирамиды (это часть высоты треугольника в основании пирамиды от основания к точке пересечения высот треугольника). этот катет тоже увеличивается в 8 раз. Итого получается S - увеличен в 64 раза, h -  в 8 раз. Значит обүем увеличился в 64*8=512 раз.