Стороны ab, bc и ac треугольника abc касаются окружности с центром o в точках m, k и p соответственно так, что bm=5, pс=7, а периметр треугольника abc равен 32. найдите длину стороны ac. !

Bm=bk=5, ck=pc=7, ap=am -как отрезки касательных ac=p - ab -bc= p - am - bm - bk -ck ac= 32- 5*2- 7*2= 8

1. в прямоугольнике диагонали образуют треугольники, у которых углы при основании равны.

2. угол boc=aod (как вертикальные); рассмотрим треугольник boc: угол obc=ocb, вс=5 см. т.к. в треугольнике сумма углов равна 180 градусам, то 180-60=120 гр, а 120: 2=60 гр. значит, obc=ocb=60 гр., а треугольник boc - равносторонний.

3. треугольники boc и aod равны, т.к. угол boc=aod (как вертикальные), dao=ocb=ado=obc (как внутренне накрест лежащие). bc=ad=bo=oc=ao=do=5 см.

значит, диагональ ac=db (т.к. точка о середина пересечения диагоналей) = 10 см

ответ: ac=db=10 cм

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма. дано: abcd — параллелограмм, ∠bcd — острый, ck и cf — высоты параллелограмма. доказать: ∠kcf=∠abc доказательство: 1) ∠abc+∠kbc=180º (как смежные). следовательно, ∠kbc=180º-∠abc. 2) так как cf — высота параллелограмма abcd, то она перпендикулярна к прямым, содержащим стороны ad и bc. поэтому ∠bcf=90º. 3) рассмотрим треугольник kbc — прямоугольный (∠kbc=90º, так как ck- высота параллелограмма abcd). так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠kcb=90º-∠kbc=90º-(180º-∠abc)=90º-180º+∠abc=∠abc-90º. 4) ∠kcf=∠kcb+∠bcf=∠abc-90º+90º=∠abc. что и требовалось доказать.