Із точки А, відстань від якої до площини α дорівнює 6√3 см, проведені дві похилі АВ і АС під кутом 30° до площини. Їхні проекції утворюють між собою кут 60°. Знайдіть відстань між основами похилих.

Исправленное условие: Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18 , а косинус угла между ней и одним из оснований равен 2√10/7. Найдите площадь трапеции.

Косинус угла между боковой стороной и основанием положительный, значит это острый угол.
sin∠A = √(1 - cos²∠A) = √(1 - 40/49) = √(9/49) = 3/7
Проведем высоту ВН.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°
             sin∠BAH = BH/AB
             BH = AB · sin∠A = 18 · 3/7 = 54/7

Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
 Sabcd = (49 + 7)/2 · 54/7 = 56/2 · 54/7 = 8 · 27 = 216

По условию АС=9 см; ВD=12 см; m=7,5 см; m=(AD+BC)/2; AD+BC=7,5*2=15 см; Проведем из вершины C на AD высоту CK. Проведем через вершину С прямую, параллельную диагонали ВD. Пусть F - точка пересечения этой прямой с продолжением АD. ВСFD - параллелограмм, так как BC||DF и BD||CF. СF = ВD = 12 см; DF=BC; Площадь трапеции АВСD равна S(ABCD)=m*CK; Площадь треугольника АСF равна S(ACF)=АF*CK/2=(AD+DF)*CK/2=m*CK; Значит, S(ABCD)=S(ACF); В треугольникеACF: AF=AD+DF=AD+BC=15 см; АС=9 см; СF=12 см; Зная три стороны площадь треугольника можно найти по формуле Герона. р=(15+9+12):2=18 - полупериметр; S(ACF)=√18*(18-15)*(18-12)*(18-9)= √18*3*6*9=√9*6*6*9=9*6=54 см^2; Но можно поступить проще. Можно заметить, что треугольник со сторонами 9; 12 и 15 см - это прямоугольный треугольник (15^2=9^2+12^2). Поэтому площадь треугольника АСF равна половине произведения катетов. S(ACF)=AC*CF/2=9*12/2=54 см^2; ответ: 54