Через точку D к окружности с центром О провели касательные DС и DК, С и К – точки касания, ∠ОКС= 32°. Найдите ∠СDК

  Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине  треугольника составляют развернутый угол, равный 180°.  Сумма двух внешних и двух внутренних =2•180=360°. Из этого следует, что сумма двух внутренних  углов равна 360°-200°=160°, в то время как третий угол  прямоугольного  треугольника равен 90°, что противоречит сумме углов треугольника 180°.

  Следовательно, дана сумма внешних углов при прямом угле и одном из острых. Внешний угол прямоугольного треугольника при вершине прямого угла равен 90°. Внешний угол при вершине одного из острых углов 200°-90°=110°, следовательно, внутренний смежный ему угол треугольника 180°-110°=70°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ⇒ второй острый угол 90°-70°=20°.

Раз в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных её сторон равны.
BC = CM = LB = BN и BS = SA = AN = ND = DG, т.к трапеция равнобоковая и отрезки касательных, проведённые из одной точки равны.
Опустим два перпендикуляра к большему основанию AD. Обозначим их за BE т FC. Внутри трапеции образовался прямоугольник BEFC => BC = EF = 2m. Тогда AE + FD = 2n - 2m.
AB = CD
BE = CF
Угол AEB = углу DFC = 90°
Значит, треугольник равны по катеты и гипотенузе.
Из равенства треугольников => AE = FD. Значит, AE = FD = 1/2(AE + FD) = 1/2•(2n - 2m) = n - m.
По теореме Пифагора:
BE = √(m + n)² - (n - m)² = √m² + 2mn + n² - n² + 2mn - m² = √4mn = 2√mn.
Значит, высота трапеции равна 2√mn.
Площадь S трапеции равна:
S = 1/2(BC + AD)•EB
S = (m + n)•2√mn.