Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 4. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Сделаем рисунок.  
Обозначим точку пересечения окружности со стороной АВ буквой К, а со стороной АД  - буквое Е.  
Соединим эти точки.  
Вписанный угол КАЕ - прямой, ⇒ КЕ- диаметр окружности.  
Проведем через N и центр окружности О прямую HN. Она параллельна АD, т.к. ОN - радиус,  проведенный в точку касания и перпендикулярен стороне СD.  Соединим О и А радиусом ОА.  
 АН=ND =7 как стороны  прямоугольника АНND. 
ОН=ВМ=24, т.к. ОМ⊥ ВС как радиус, проведенный в точку касания к ВС.  
Из прямоугольного треугольника АОН найдем гипотенузу АО,  которая является радиусом  окружности: 
АО²=ОН²+АН²= 576+49=625 
АО=√625=25  
ОN=r=АO=25 
MC=ON=25 
ВС=ВМ+МС=24+25=49 
СD=CN+ND=25+7=32  
S (ABCD)=BC*CD=49*32=1568 ( ед. площади)
------
[email protected]

Т.к.  один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то  и второй острый угол этого треугольника тоже равен 45°, а сам треугольник является равнобедренным  ( гипотенуза является основанием равнобедренного треугольника, а катеты являются бедрами этого равнобедренного треугольника и соответственно равны друг другу )

Пусть а и b - катеты треугольника, а с - его гипотенуза. Так как в нашем случае катеты равны, то по теореме Пифагора с² = 2а²

Площадь же данного треугольника можно найти по формуле S = a*b/2

Так как в данном треугольнике катеты равны друг другу, то формула площади треугольника примет вид S = a²/2 = c²/4

Подставим численное значение длины гипотенузы в полученную формулу и найдём площадь треугольника:

S = c²/4 = 20²/4 = 400/4 = 100

Площадь данного прямоугольного треугольника равна 100.