Даны три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, причем АВ=8см, ВС=7см. Каким может быть расстояние АС? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.

Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (черт. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.

Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник — равносторонний.

Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.

Площадь треугольника вычисляется по формуле

S = 1/2 * a * h

(где S - площадь, a - основание, h - высота треугольника, проведенная к основанию).

Перед решением задачи нужно сделать чертеж. Если основание равнобедренного треугольника совпадает со стороной квадрата, то вершина треугольника лежит на середине противоположной стороны.

Проведем высоту в треугольнике. Так как высота будет перпендикулярна основанию, то есть стороне квадрата, то высота будет равна высоте квадрата.

И так как у квадрата все стороны равны, то площадь треугольника будет равна:

S = 1/2 * a * h = 1/2 * a * a = 1/2 * 4 * 4 = 8 см².

ответ: 8 см².