Площадь поверхности куба 624 см в квадрате, найдите ребро куба

Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другая — в точках A₂ и B₂ соответственно . Найдите отрезок A₁A₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂,  MA₂ = 4 см, A₂B₂ = 10 см.

Объяснение:

1) Две пересекающиеся прямые А₁В₁ и А₂В₂ определяют плоскость

(А₁А₂ В₂) единственным образом ( аксиома). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости  α и β  по параллельным прямым А₁А₂ и В₁В₂( свойство).

2) ΔМА₁А₂~ΔMB₁B₂  по 2-м углам : ∠А₁МА₂=∠B₁МB₂ как вертикальные ,  ∠А₁А₂М =∠В₁В₂М как накрест лежащие при  А₁А₂ || В₁В₂,  А₂В₂-секущая. Поэтому сходственные стороны пропорциональны

А₁А₂ : В₁В₂ = АМА₂ : МВ₂

А₁А₂ : (А₁А₂+1) = 4: ( 10-4)

4(А₁А₂+1)=А₁А₂*6   ⇒ А₁А₂= 2 cм

Высота равнобедренного треугольника, проведенного к основанию 6, делит основание пополам. ( cм. рисунок в приложении)
Высота разбивает равнобедренный треугольник на два прямоугольных с гипотенузой 5 см и катетом 3 см. Второй катет 4 см ( по теореме Пифагора, это египетский треугольник) 
S=6·4/2=12 кв. ед
Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности
(см. рисунок, три прямоугольных треугольника равны по катету ( высота пирамиды - общая  и острому углу)
r=S/p=12/(5+5+6)/2=24/16=3/2=1,5
H=r·tg60°=1,5·√3=3√3/2