Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2;2), (2;6), (10;3) (см. рис.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Если основание - 2х, то для половины основания из теоремы Пифагора верно:
Х^2 + 8^2 = 10^2
Х^2 = 100 - 64 = 36
Х = 6
Пусть другая высота падает на боковую сторону на расстоянии а от вершины треугольника.
Для другой высоты(назовём у) верны будут соотношения:
12^2 = у^2 + (10+а)^2
И
10^2 = у^2 + а^2
Вычитаем одно из другого:
44 = 100 - 20а
20а = 56
а = 56/20= 14/5
И подставляем, например, во второе:
10^2 = у^2 + (14/5)^2
У^2 = 100- 196/25= (2500-196)/25 = 2304/25
У = 48/5= 9,6

Объяснение:

Рассмотрим треугольник ABD.

BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.

∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).

Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).

Следовательно, AB=BD.

Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.

BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).

Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104.

Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.

ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.

Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816

SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816

Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816

Тогда, SABС=3*10816=32448

AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы).

SABD=(AD*BO)/2=SABC/2

(208*BO)/2=32448/2

BO=32448/208=156

Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:

AB2=BO2+AO2

AB2=1562+1042

AB2=24336+10816=35152

AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13

BC=2AB=2*52√13=104√13

Рассмотрим треугольник AOE.

OE=BE-BO=208-156=52

Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:

AE2=AO2+OE2

AE2=1042+522=10816+2704=13520

AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5

Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:

BC/AB=CE/AE

104√13/52√13=CE/(52√5)

2=CE/(52√5)

CE=104√5

AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5

ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5