1. основанием пирамиды mabcd является квадрат abcd , ребро md перпендикулярно к плоскости основания, ad = dm=а . найдите площадь поверхности пирамиды. 20: 31: 38 2. основанием прямого параллелепипеда а-д1 является параллелограммавсд , стороны которого равны а корней из 2 и 2а , острый угол равен 45 градусов.высота парал-да равна меньшей высоте параллелограмма. найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б)угол между плоскостью авс1 иплоскостью основания; в)площадь боковой поверхности параллелепипеда; г)площадь поверхности парал-да

1.основанием пирамиды mabcd является квадрат abcd, ребро md перпендикулярно к плоскости основания,  ad = dm=а . найдите площадь поверхности пирамиды.  площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания  и 2-х пар равных граней -   прямоугольных треугольников  (⊿  mda=⊿  mdc; ⊿  mab=⊿  mcb): ам и мс перпендикулярны сторонам квадрата ( по т. о 3-х перпендикулярах), а мd перпендикулярна   его плоскости по условию.  s полн= s авсd+ 2s (maв)+2s (mcd) 2s (mad)=(a² : 2)•2= a² 2s (mав)=ав•ma ma=a√2 (треугольник маd равнобедренный прямоугольный) 2s (mав)=2•(а•а√2) : 2= а²√2 s(abcd)=a² s полн=a²+а²+a²√2= a²(2+√2)   2. основание прямого параллелепипеда  авсda’b’c’d'  - параллелограмм авсд, стороны которого равны а√2  и 2а , острый угол равен 45°. высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. найдите:   а) меньшую высоту параллелограмма;   б)угол между плоскостью авс1 и плоскостью основания; в)площадь боковой поверхности параллелепипеда; г)площадь поверхности  параллелепипеда.

а) 

меньшая высота cнпараллелограмма abcd идет из вершины c к большей его стороне ав.

∆ всн - прямоугольный, угол свн=45° по условию.=>

сн=вс•sin45°=a√2•√2/2=a

б)

параллелепипед прямой,⇒  ребро сс’ перпендикулярно плоскости основания и сторонам и  является высотой параллелепипеда. 

сс’=ch=a

  сн перпендикулярна ав, с'н⊥ав по т. о 3-х перпендикулярах 

а   так как сс’=сh (по условию), треугольник нсс’ равнобедренный прямоугольный.

  угол снс’ между плоскостью авс1 и плоскостью основания из равнобедренного прямоугольного  треугольника снс’=45°

в) 

площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению его периметра на высоту:

s бок=2•( 2а+а√2)•а=4а²+2а²√2=2а²(2+√2)

г) 

площадь поверхности  параллелепипеда  - сумма площадей  2-х оснований  и  боковой поверхности.

s (abcd)=сh•aв=a•2a=2a²

оснований два.   

s полн=2•2a²+2а²(2+√2)=2а²(4+√2)

дано: ромб

площадь = 8 см кв.

периметр = 16 см

найти:

углы ромба

решение:

площадь =   сторона ромба в квадрате умножить на синус угла, прилежащий к стороне.

сторону ромба легко найти, т.к. периметр - сумма всех сторон, а стороны ромба равны, следовательно сторона ромба равна 4.

подставляем в формулу известные значения, получается:

16*sinугла= 8, отсюда

  sinугла = 1/2

угол = 30 градусам

второй угол можно найти так:

180-30=150

ответ: углы равны 30, 30, 150, 150. 

 

 

так как периметр ромба равен 16, то сторна ромба равна 16/4=4

ромб авсд, пусть угол при в = х градусов, а при а  =2хградусов (по условию.)диагонал ас=? проведем и диагональ вд. в ромбе диагонали пересекаясь(точка пересечения о), образуют угол в 90 градусов, также диагонали являются биссектрисами.значит треугольник аов прямой.угол вао=2х/2=х, а угол авс=х/2.

в треугольнике сумма углов равна 180, значит

х+х/2=90

3х/2=90

3х=180

х=180/3

х=60

угол вас=60, тогда угол аво=60/2=30

в прямоугольном треугольгике, катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузе, так ав=4, ао=2, а длина ао=ос=2 (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам), значит ас=4.

можно решить еще и так

угол вас=углу вса=х, также угол в=х, значит треугольник авс равносторонний и ас=ав=4

меншая диагональ ромба равна 4 см.