Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O так, что отношение длин дуг AB и BC равно 5:7. Найдите углы треугольника ABC если угол AOC равен 120 градусов

ответ:<A = 70°, <B=60°,<C=50°

Объяснение:

Построим окружность с центром в точке о и проведем хорды АВ и СД удовлетворяющие условиям задачи.

Найдем радиус данной окружности:
Построим радиусы ОА и ОВ, а также ОЕ- расстояние от центра окружности до хорды АВ (ОЕ ⊥ АВ)
Рассмотрим получившийся треугольник ОАВ – равнобедренный, так как ОА=ОВ (радиусы окружности).
Так как ОАВ равнобедренный, то ОЕ -  является и высотой и медианой. Значит АЕ=АВ/2=40/2=20
Рассмотрим треугольник ОАЕ: угол ОЕА – прямой.
По теореме Пифагора найдем ОА:
ОА= √(АЕ^2+OE^2)= √(20^2+21^2)= √(400+441)= √841=29 – Мы нашли радиус окружности.                          

Теперь находим расстояние от центра окружности до хорды СД:
Построим радиусы ОС и ОД, а также ОF- расстояние от центра окружности до хорды СД (ОF ⊥ СД)
Рассмотрим получившийся треугольник ОСД – равнобедренный, так как ОС=ОД (радиусы окружности).
Так как ОCД равнобедренный, то ОF -  является и высотой и медианой.
 Значит СF=СД/2=42/2=21
Рассмотрим треугольник ОCF: угол ОFC – прямой.
По теореме Пифагора найдем ОF:
OF=√(OC^2-CF^2)= √(29^2-21^2)= √(841-441)= √400=20
ответ: расстояние от центра окружности до хорды СД равно 20

Построим равносторонний треугольник АВС. Проведем биссектрису ВД.
 В равностороннем треугольнике биссектриса является также и высотой и медианой.
Зная это, найдем АД:
АД=АС/2=(14 √3)/2=7√3 (так как ВД – медиана)
Рассмотрим треугольник АВД: угол АДВ= 90 градусов (так как ВД высота)
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√АВ^2-AД^2)=((14√3)^2-(7√3)^2)= √(588-147)= √441=21
Второй вариант:
Формула нахождения биссектрисы в равностороннем треугольнике:
L=(a√3)/2 (где L – биссектриса, а сторона треугольника)
L=(14√3*√3)-2=(14*3)/2=42/2=21