З точки М що лежить поза колом проведено 2 дотичні МА і MB( a и b точки дотику) кут МВА =60°. знайти відстань від точки М до центра кола якщо радіус кола 8 смс точки М лежащий вне круга проведены 2 касательные МА и MB (a и b точки соприкосновения) угол МВА = 60 °. найти расстояние от точки М к центру круга если радиус окружности 8 см​

ответ: 16см

Объяснение: если провести отрезок ОМ, то он образует два равных прямоугольных треугольника:

радиусы, проведённые к точкам касания образуют с ними прямой угол 90°, где АМ, ВМ, ОА и ОВ - катеты, а ОМ - гипотенуза. АМ=МВ, как соединяющиеся в одной точке и ОМ - общая сторона. Так как АМ=МВ, то ОМ делит угол М пополам, поэтому угол АМО=углуВМО=60÷2=30°. Так как катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, и так как этим катетом является радиус ОА и ОВ, то: ОМ=8×2=16см

ОМ=16см

Объясняю.

Отрезок, соединяющий середины основания равнобедренного треугольника и боковой стороны, является медианой для боковой стороны. (это видно на рисунке). Почему?

Вспоминаем теорему о медиане в р/б треугольнике:

В р/б треугольнике медиана, проведённая к его основанию, является биссектрисой и высотой.

Следовательно, точка К-конец ВК совпадёт с концом отрезка, соединяющего середины основания равнобедренного треугольника и боковой стороны.

Следующая теорема:

В р/б треугольнике углы при основании равны.

Следовательно, ∠ВАС=∠ВСА=30° ((180-120):2=30).

Треугольник АВК прямоугольный, ∠ВКА=90° (высота ВК).

Катет ВК (он равен 3) лежит против угла в 30°, значит (по св-ву катета):

АВ=3*2=6, а по св-ву медианы в прямоугольном треугольнике:

ОК=6:2=3см.

ответ: 3 - С).

а) Доказано; б) 36

Объяснение:

а)

Обратимся к первому рисунку. Пусть ∠AOB=∠COD=ω. Тогда ∠BAO=∠ABO=∠OCD=∠ODC=α (AO=OB=R и CO=OD=R => треугольники ABO и COD равнобедренные, в которых угол против основания общий, а => ). ΔAOD равнобедренный (AO=OD=R) => ∠OAD=∠ODA=β. Аналогично ∠OBC=∠OCB=γ. Т.к. четырехугольник вписан в окружность, то ∠BAD+∠BCD=180°. Значит: . ∠BAD+∠ABC=. Получили, что , т.к. внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей AB в сумме дают 180°. Поскольку AD≠BC (по условию AD=2BC), четырехугольник трапеция, а не параллелограмм, а так как она вписана в окружность, то равнобедренная. Доказано.

Заметим, что центр описанной около четырехугольника окружности может лежать вне него. Тогда доказательство будет отличаться. Начиная с этого момента забудем о тех обозначениях, которые были введены для доказательства первого случая. Обратимся ко второму рисунку. Заметим, что ∠ABC=∠BCD=α, так как AO=OB=R и CO=OD=R => треугольники ABO и COD равнобедренные, в которых угол против основания общий, а => (здесь ∠AOB=∠COD=ω) и ∠OBC=∠BCO, так как это углы при основании равнобедренного треугольника BOC (OB=OC=R). Пусть ∠BAD=β. Тогда (так как четырехугольник вписанный). Но . Значит , т.к. внутренние односторонние углы при этих прямых и секущей AB в сумме дают 180°. Поскольку AD≠BC (по условию AD=2BC), четырехугольник трапеция, а не параллелограмм, а так как она вписана в окружность, то равнобедренная. Доказано.

б)

Решим задачу для 1-ого случая:

Пусть EG - расстояние между прямыми BC и AD. Т.к. BC||AD, то EG=6. Заметим, что треугольники BOC и AOD равновеликие.

Докажем это:

Пусть ∠BOC=α. Тогда (так как ∠AOB=∠COD=90°, а => ∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°) ∠AOD=180°-α.

Получим:

Запишем их площади через формулу про основание и высоту:

Из условия следует, что AD=2BC.

Тогда:

Знаем, что:

Тогда:

Поскольку треугольники BOC и AOD равнобедренные, то OG и OE не только их высоты, но и медианы соответственно, а значит BG=BC/2 и AE=AD/2.

Тогда из прямоугольных треугольников BOG и AOE по теореме Пифагора найдем BC и AD:

По условию AD=2BC.

Значит:

Теперь находим BC и AD:

Теперь можно без труда найти площадь трапеции:

Получили, что площадь трапеции ABCD равна 36.

Задача решена!

(Для второго случая решить пункт б) невозможно, так как дуга AB + дуга CD по условию должны давать 180°, что невозможно для данного случая)