.В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 12см и 6см, боковое ребро – 15см. Найти апофему усечённой пирамиды

По уравнениям стороны АВ и высоты ВН находим координаты точки В:
Пересечение двух прямых. Угол между ними и точка пересечения
Параметры первой прямой линии 4х+у-12=0
Параметры второй линии 5х-4у-12=0Параметры пересечения двух прямых. Уравнение первой прямой 
y = -4x + ( 12 ) 
Уравнение второй прямой 
y = 1.25x + ( -3 ) 
Угол пересечения двух прямых(в градусах) 
-52.696051722017 
Точка пересечения двух прямых - точка В
x = 2.8571428571429, 
y = 0.57142857142857.
Аналогично по уравнению стороны АВ и высоты АМ находим координаты точки А:
Параметры первой прямой линии 4х+у-12=0
Параметры второй линии х+у-6=0Параметры пересечения двух прямыхУравнение первой прямой 
y = -4x + ( 12 ) 
Уравнение второй прямой 
y = -1x + ( 6 ) 
Угол пересечения двух прямых(в градусах) 
30.963756532073 
Точка пересечения двух прямых - точка А
x = 2,
y = 4 .
Стороны ВС и АС перпендикулярны своим перпендикулярам, а в уравнении перпендикулярной линии коэффициент к₂ = -1/к₁.
Для нахождения параметра в в уравнении прямой подставим найденные координаты точек в уравнение перпендикулярной прямой:
ВС = у = -х + в     в = у + х =  2.8571429 + 0.571429 =  3.428571
Отсюда уравнение стороны ВС: у = -х +  3.428571.
Аналогично находим уравнение стороны АС: у = -0,2х + 4,4.

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда

х=(-6+6)/2=0;  у=(1-4)/2=-1,5.

Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда

х=(0+0)/2=0;  у=(5-8)/2=-1,5.

Значит О1 совпадает с О2 -  значит ABCD параллелограмм.

О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.

Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

АС^2=12^2+(-5)^2

АС^2=144+25

AC^2=169

AC=13

BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

BD^2=0^2+(-13)^2

BD^2=0+169

BD^2=169

BD=13

AC=BD

ABCD - прямоугольник