Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

вообще-то полезно запомнить. в равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен r = a/√3; а радиус вписанной окружности в 2 раза меньше, r = a/2√3; .

прямой способ - применить теорему синусов 2*r*sin(60°) = a, откуда это сразу следует. если теорема синусов незнакома - не беда, в правильном треугольнике все центры , и центр описанной окружности лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии (2/3 от длины медианы-биссектрисы-высоты) от вершины и (1/3 от длинны этой высоты) от стороны. то есть r = 2*h/3; r = h/3;

высота равна h = а*√3/2, что легко сосчитать из треугольника с гипотенузой а и малым катетом а/2. а радиус  r = (2/3)*a*√3/2 =  a*√3/3 =  a/√3; r = r/2 = a/2√3;

ответ r = 2√3;

1)  радиус вписанной окружности равен отношению площади тр-ка к его полупериметру, т.е. r = sδ/ p

  p = 3·ab/2 = 3·12/2 = 18 (cм)

  sδ = ab²·√3/4 = 12²·√3/4 = 36√3( cм²), тогда

  r = 36√3/18 = 2√3 (cм).

ответ: 2√3 см. 

Треугольник авс - равнобедренный, так как ав= всзначит ∠1 = ∠ 2∠2 = ∠ 3  как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых bc и ad.значит  ∠1 = ∠ 2 = ∠ 3  пусть ∠1 = ∠ 2 = ∠ 3 = х°треугольник асd - равнобедренный, так как аc= adзначит ∠4 = ∠ 5так как сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°, то∠с + ∠ d = 180°  x° + ∠4 +  ∠ 5 = 180°x° + ∠4 +  ∠ 4 = 180°    ⇒2· ∠ 4 = 180°- x° ⇒∠ 4 = (180°- x° )/2так как  углы при основании  равнобедренной трапеции равны,  ∠а = ∠ d    x° + x° = ∠5,  ∠ 4 =  ∠5  2х° = (180°- x° )/24х°= 180° - х°5х°=180,х°=36°  значит  ∠1 = ∠ 2 = ∠ 3 =36° , ∠ 4 =  ∠5 =(180°-36°)/2=72°∠ a = ∠1 +∠3 = 36°+36°= 72° , ∠ b =  180°-72°=108°ответ. ∠ a = ∠ d =72° , ∠ b =  ∠c =180°-72°=108°

Позначемо: - основа трикутника а, - бокова сторона трикутника в. - висота трикутника h = 10 см. основа дорівнює а = 64 - 2в.           (1)                                         квадрат бокової сторони трикутника з теореми піфагора стоновить в²  =  (а/2)²+h².                                   (2) підставим формулу (1) у (2), та  відоме значення  h: в² = (4096-256в+4в²)/4 + 10². 4в² = 4096-256в+4в²+400. 256в = 4496. в = 4496/256 =  17,5625. а = 64-2в = 64-2*17,5625 =  28,875.