ABCD Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках A (-1;-1;) B (-3;1) C(1;5) D(3; 3) является прямоугольником.

дано четырёхугольник ABCD точки F (3; 5), В(-1;-1), С (-7; -5) и D (-3; 1)

Доказать что ABCD  является ромбом

Решение

так как О - середина стороны АС

O((3-7)/2;(5-5)/2) = (-2;0)

так как О1 середина строноны BD

O1((-1-3)/2; (-1+1)/2)= (-2;0)

так как О= О1  ABCD - параллелограмм

АВ = √(-1-3)^2 + (-1-5)^2 = √52

AD = √(-3-3)^2+(1-5)^2 = √52

значит ABCD - ромб что и требовалось доказать

Объяснение:

ВОТ МОЙ ОТВЕТ ЕСЛИ НЕ ТАК ТО

"Умножение катет" это видимо их произведение?
a+b+c=30
ab=60
Вспоминаем теорему Пифагора:
a²+b²=c²
Прибавляем к обеим частям 2ab:
a²+2ab+b²=c²+2ab
(a+b)²=c²+120
Для удобства заменим a+b на х:
х²=с²+120
Или:
с²=х²-120
Но в то же время 
a+b+c=30, или
х+с=30
с=30-х
с²=(30-х)²=900-60х+х²
Приравниваем два выражения для квадрата гипотенузы:
х²-120 = 900-60х+х²
60х = 1020
х=17
Итак, мы знаем:
a+b=17
ab=60
Выражаем:a = 17-b
(17-b)b=60
17b-b²=60
b² - 17b + 60 = 0
D = 289 - 4*60 = 49 = 7²
b = (17+-7)/2 = {12;5}
Собственно мы и получили пару возможных значений - или a=5, b=12, или наоборот, это неважно.

Дан правильный тетраэдр ABCD, ребро которого равно а, DO-высота тетраэдра, М-середина DO.

Высота DO равна а√2/√3 (это свойство правильного тетраэдра).
Точка О делит высоту АЕ основания в отношении 2:1 от вершины.
АЕ = а*cos 30° = a√3/2.
Тогда отрезки АО и ОЕ равны:
АО = (2/3)*(a√3/2) = a√3/3, ОЕ = (1/3)*(а√3/2) = а√3/6.
Примем длину МО = х.
Из подобных треугольников AMO и AFE составляем пропорцию:
х/АО = EF/AF.
Так как EF = OE, а AF = DO, то пропорция примет вид:
х/(а√3/3) = (а√3/6)/(а√2/√3).
Отсюда значение х равно:
х = (а√3)/(6√2) = (а√6)/12 = (а√2)/(4√3) = OD/4.
Получаем ответ на вопрос - г) в каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра AF,считая от А?
ответ: DM:MO = 3:1.

Сечение через точку М, параллельное плоскости ВСD, пересекает АЕ в точке Т, которая делит ОЕ пополам.
Тогда АТ = (5/6)АЕ и треугольник в полученном сечении имеет коэффициент подобия к треугольнику ВСД, равный 5/6.

Площадь подобного треугольника NКР в сечении равна  площади ВСД, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
S(BCD) = (1/2)BC*DE = (1/2)a*(a√3/2) = a²√3/4.
S(NKP) = (a²√3/4)*(25/36) = a²*25√3/144.

Периметр NКР равен (5/6)*3а = 5а/2.