Отрезок прямой , параллельной основания трапеции , заключенный внутри трапеции , разбивается диагоналями на 3 отрезка. докажите, что крайние из них равны между собой.

если прямая проходит ниже точки пересечения диагоналей, то крайние из них являются отрезками, пропорциональными малому основанию. при этом коэффициент пропорциональности определяется расстоянием прямой от большого основания. см.чертеж

если эта прямая (параллельная основаниям) en делит высоту трапеции, или диагональ, или боковую строну, или любой другой отрезок прямой, концы которого лежат на разных основаниях трапеции, в следующем отношении -

(к примеру) ae/ab = q 

то крайние отрезки будут иметь длину

ер = mn = q*b,

где b = bc - малое основание. 

все это следует из простого подобия пар треугольников (abc и aep) и (dmn и dbc), а так же теоремой о пропорциональности отрезков секущих между параллельными прямыми (из чего следует, что md/bd = nd/cd = ap/ac = q). 

для прямых, проходящих выше точки пересечения диагоналей, рассматриваются треугольники, у которых основанием является большое основание трапеции. с тем же результатом :

Втреугольной пирамиде найдём площадь боковой поверхности, как сумму площадей боковых граней. т. к. площади двух граней одинаковы и они являются прямоугольными треугольниками, найдём их катеты: ас=а- по условию, найдём ad из прямоугольного треугольника dka , где к- пересечение апофемы грани dbc со стороной вс. ак=а корней из 3 делить на 2. тогда ad=ак*tg30 градусов, ad=а корней из 3разделить на 2 и умножить на 1/ на корень из 3. получим ad=а/2. тогда площадь треугольника adc будет а/2*а*1/2=а в квадрате делённое на 4, но таких площадей 2, тогда их сумма будет а квадрат разделить на 2. найдём площадь грани dcb, для этого найдём dk=а корней из3 разделить на 2 и умножить на cos30=а корней из 3 делить на 2 и умножить на cos 30= а корней из 3 делить на 2* на корень из 3 делённое на 3=3а/4. найдём площадь а*3а/4 и разделитьна 2. получим 3а в квадрате разделить на 8. найдём площадь боковой поверхности: а квадрат делить на 2+ 3а квадрат разделить на .8. 2.в основании ромб, с остым углом 60 градусов, значит высота ромба будет: а*sin60=а корней из 3 разделить на 2. построим плоскость сечения. это будет ad1c1b, построим угол наклона этой плоскости к основинию: проведём два перпендикуляра к ребру ав -это dp в основании и d1p в плоскости сечения. найдём высоту призмы: dk*tg60=а корней из 3 на 2 умножить на корень из 3=3а/2. найдём площадь поверхности: s ромба умножим на 2 , прибавим 3а/2*а*4=6а в квадрате. сложим полученные величины: 6а в квадрате+ площадь ромба, а она равна а квадрат корней из 3 разделить на 2. и так ответ 6а в квадрате +а в квадрате корней из 3.

Если ты об этой теорема: около любого треугольника можно описать окружность. доказательство: рассмотрим произвольный треугольник abc.  пусть точка о - пересечение серединных перпендикуляров к его сторонам. проведём отрезки oa, ob и oc. они равны (oa=ob=oc), так как точка о равноудалена от вершин треугольника abc (см. свойство серединных перпендикуляров). поэтому окружность с центром о радиуса оа проходит через все три вершины треугольника abc. следовательно, окружность описана около треугольника. abc.