Отрезок АД перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АД = 12см. Найти расстояние от точки Д до прямой ВС. С фотографией и рисунком

Так как треугольник АВС - равнобедренный, его высота ВН является и медианой, и биссектрисой. 
ВН по т.Пифагора равна 12. 
АН=НС=9 
СЕ - медиана.
Точка М по свойству медиан делит ВН в отношении 2:1, т.е. на отрезки
ВМ=8, МН=4 
СТ - биссектриса.  Т - точка пересечения биссектрис   углов В и С. 
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. 
В треугольнике ВСН отношение  отрезков ВТ:ТН=ВС:СН 
ВТ:ТН=15:9=5:3 
3 ВТ=5 ТН 
ТН=0,6 ВТ 
ВН=ВТ+ТН 
ВН=1,6 ВТ 
1,6 ВТ=12 
ВТ=12:1,6=7,5 
МТ=ВМ-ВТ=8-7,5=0,5
----------------
Центр О описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров. ВН - срединный перпендикуляр, и центр О лежит на ВН. 
Радиус описанной окружности найдем по формуле 
R=abc:4S 
R=15*15*18: 4*12*18/2 
R= 4050: 432=9,375 
R=BO
Расстояние от О до АС равно ВН-BO 
ОН=12-9,375=2,625

Сумма трех углов треугольника равна 180 градусам.
Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°.