В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке К. Объем пирамиды равен 42см³, SK =18см. Найдите площадь треугольника АВС. Желательно с рисунком и пояснением

В трапеции треугольники, образовавшиеся при пересечении диагоналей, подобны. 

Коэффициент подобия 

k= ⁹/₁₁

Cтороны треугольников, составленные отрезками диагоналей, тоже относятся как 

9:11

Найдем эти стороны:

Диагональ 12 делится точкой пересечения со второй диагоналлью в отношении 9:11 ( всего на 20 частей)

12:20=0,6 - величина одной части. 

9*0,6=5,4 ( это меньшая сторона верхнего треугольника)

11*0,6=6,6 - это меньшая сторона нижнегоо треугольника.

16:20-0,8 

0,8*9=7,2 - это большая сторона верхнего ( меньшего) треугольника

0,8*11=8,8 - большая сторона нижнего ( большего ) треугольника. 

По формуле Герона найдем площади обоих треугольников. 

Вычисления приводить не буду,

S₁=19,44 см

S₂=29,04см₂

Из формулы площади треугольника найдем высоту h

h=S:1/2a

h₁= 19,44:(9:2)=4,32 см

h=₂=29,04:(11:2)=5,28

Сложив высоты треугольников, получим высоту трапеции:

4,32+5,28=9,6 см

ответ: высота трапеции 9,6 см

Этот ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ треугольник обладает удивительным свойством - биссектриса CD делит его на два равнобедренных треугольника.

В самом деле, угол ВСА = (180 - 36)/2 = 72 градуса = угол ВАС, => угол BCD = 72/2 = 36 градусов, и => СD = BD = 3. На самом деле задача УЖЕ РЕШЕНА  - отношение равно 3/5 - это отношение BD/AB. В самом деле, если обозначить расстояние от точки С до АВ, как h, то Sabc = AB*h/2, Sdbc = BD*h/2, Sdbc/Sabc = BD/AB = 3/5.

 

Но для полноты картины заметим, что угол CDA = угол САВ + угол BCD = 72 градуса = угол САВ, поэтому CD = AC = 3, то есть нам известны все стороны треугольника АВС :) - это 5, 5 и 3. 

В результате мы получаем, что 3/5 = 2/3, что НЕВОЗМОЖНО. ПОЭТОМУ такого треугольника, как указано в задаче, НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Размеры 5 и 3 противоречат условию, что угол при вершине - 36 градусов. :

Поэтому сделаем так - если задана боковая сторона 5, и угол при вершине 36 градусов, сосчитаем величину основания AC, биссектрисы CD и отрезка BD, которые РАВНЫ между собой. Обозначим CD = x. По свойству биссектрисы имеем

x/5 = (5-x)/x; x^2 + 5*x - 25 = 0; Отсюда х = 5*(корень(5) - 1)/2.

Именно такова длина биссектрисы CD в ПРАВИЛЬНОМ условии. И отношение  Sdbc/Sabc = BD/AB в реальности равно (корень(5) - 1)/2;

Справедливости ради стоит отметить, что 5*(корень(5) - 1)/2 примерно равно 3,09016994374947, то есть не сильно отличается от 3. Почти как в старом грузинском анекдоте ("ну, 2х2 где-то 7 или 8, но не 49 же")