MP: PN=2:5PN-MP = 12смMN-?​

5-2=3

12:3=4сm-MN

вот

Если последовательно соединить середины соседних сторон, то каждая из сторон полученного четырехугольника будет средней линией в треугольнике, образованном двумя сторонами исходного четырехугольника и одной из его диагоналей. То есть получится параллелограмм (все стороны которого параллельны диагоналям). По условию, диагонали ЭТОГО параллелограмма равны между собой. То есть этот параллелограмм- прямоугольник. Что означает, что диагонали исходного четырехугольника взаимно перпендикулярны.
Поэтому площадь его равна 8*5/2 = 20;

Пусть 1/2(∠А)=в, тогда ∠АДВ=∠АСД+в-внешний угол треугольникаАСД
∠В=90-2в(сумма острых углов прям тр-ка АВС равна 90
По теореме синусов (для тр-каАДВ)
АВ/sin(∠ADB)=AD/sinB
a/sin(90+b)=(a/√3)/sin(90-2b)
a/cosb=a/(√3 cos2b); b-бэтта
√3acos2b=acosb    :a
√3cos2b=cosb
√3(2cos^2 b-1)-cosb=0
2√3cos^2 b-cosb-√3=0
cosb=x; 2√3x^2-x-√3=0
             D=1+8*(√3)^2=1+24=25=5^2;x=(1+-5)/(4√3)
              x=6/4 )/√3=(3√3)/(2*√3*√3)=√3/2
              x=-4/(4√3)=-1/√3-посторонний, угол острый и cosb>0
cosb=√3/2; b=30grad
тогда ∠А=2*30=60град; ∠В=90-60=30град
Катет АС против угла в 30 градусов, АС=1/2АВ; АС=а/2
BC^2=a^2-(a/2)^2(по теореме Пифагора из тр. АВС)
ВС=√(a^2-a^2/4)=a√3/2
ответ а/2; а√3/2