Трапеция abcd вписана в окружность, причем прямая ac делит угол a пополам. найдите угол abc, если хорда ad стягивает дугу в 108 градусов. ответ дайте в градусах.

o - центр окружности. угол aod=108 градусов. т.к. трапеция вписана, то она равнобедренная (ab=cd). если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180 градусов, т.е. угол a + угол c = 180 градусов, угол b + угол d = 180 градусов. а так в трапеции сумма односторонних углов так же равна 180 градусов, т. е. угол a + угол b = 180 градусов и угол с + угол d = 180 градусов, то из этого всего и следует: угол a + угол c = угол a + угол b = 180 градусов, значит угол c =  угол b, а это значит, что трапеция равнобедренная (ab=cd). центр окружности лежит внутри трапеции (для построения). так же известно, что прямая ac делит угол a пополам. значит, угол bac = углу cad. но и угол bca = углу cad ( как накрест лежащие при пересечении прямых ad и bc секущей ac). а от сюда следует, что и угол bac = углу bca, значит треугольник abc равнобедренный (ab=bc).

ao=bo=co=co - радиус окружности. ab=bc=cd. от суда следует, что треугольники abo, bco, cdo равны по трем сторонам.

угол boa = угол сob = угол doc = (360-108)/3 = 84 градуса.

т.к. треугольник abo равнобедренный, то угол abo=(180-84)/2=48 градусов. аналогично найдем угол cbo=48 градусов. а угол abc=угол abo + угол cbo = 48 +48 = 96 градусов.

ответ: 96 градусов. (остается качественно сделать рисунок)

Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. 

сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒  угол сnн треугольника  сnh равен 90°-12°=78°

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 

сn - биссектриса, ⇒ ∠асn=∠bcn=05•вас

рассмотрим ∆ аnc.

  примем  ∠асn=∠всn=а. тогда угол nас=2а.

из суммы углов треугольника а+2а+78°=180°

3а=102°

а=34°

угол аnc- внешний для треугольника bnc и равен сумме внутренних, не смежных с ним. 

тогда угол авn=∠авс=78°-34°=44°

или 

находим углы при основании ас. они  равны 2а=68°, затем из суммы углов треугольника найдем угол авс. 180°-2•68°=44°

1решение рисунок прилагается в   четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны,значит все боковые  грани равносторонние треугольникитак как  точка m -- середина ребра sc, т о  вм - медиана, биссектриса,  высота в треугольнике bsc   и     вм -перпендикуляр   к scdм - медиана, биссектриса,  высота в треугольнике dsc   и     dм -перпендикуляр   к sc три точки b,d,m   образуют плоскость   bmd, в которой лежат пересекающиеся прямые (bm) и  (dm).  так как   (sc)   перпендикулярна к каждой из прямых  (bm) и  (dm), следовательно  плоскость bmd перпендикулярна прямой sc.  доказано.  2 решение рисунок прилагается так как   ав  ⊥    вс  , то основание пирамиды - прямоугольный треугольник abc площадь прямоугольного треугольника s(∆abc)=1/2  ав*вс = 1/2 *10*15=75 так как  через точку м ребра sb проведено сечение плоскостью, параллельной плоскости авс, то по теореме фалеса   эта плоскость делит боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки таким образом, что: ∆asb ~  ∆ksm ∆asc ~  ∆ksn ∆bsc ~  ∆msn подобные треугольники. искомое сечение  ∆kmn причем  если sm: mb=2: 3 , то коэффициент подобия k = sm/sb = 3/5 в подобных   треугольниках соответствующие стороны пропорциональны km ~ ab kn ~ ac mn ~ bc тогда ∆kmn ~  ∆abc   с коэффициентом подобия k =    3/5  . известно, что площади подобных треугольников относятся, как   k^2 тогда s(∆kmn) = k^2 * s(∆abc) = (3/5)^2 * 75 = 27 ответ s = 27