Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 30 градусів. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо його площа становить 64 см^2

Площадь любого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Диагонали прямоугольника равны между собой. Обозначим длину диагонали за х. Пусть S - площадь прямоугольника.

Угол между диагоналями, по условию, равен 30°.

sin 30° = 0,5.

Составим уравнение -

S = 0,5*0,5*х*х

S = 0,25*х²

Подставим в формулу известные нам значения -

64 см² = 0,25*х²

х² = 64 см²/0,25

x² = 256 cм²

x₁ = -√256 cм

х₁ = -16 см - не удовлетворяет условию

x₂ = √256 cм

x₂ = 16 cм - подходит.

Диагонали прямоугольника = 16 см.

ответ: 16 см и 16 см.

Рішення:

Застосуємо формулу площі прямокудника через діагоналі і кут між ними, та виразимо із неї значення діагоналі.

Відповідь: діагональ прямокутника дорівнює 16 см.

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.
KD - расстояние от точки К до прямых AD и DC и оно равно 12 см.

AD⊥AB как стороны прямоугольника,
AD - проекция KА на плоскость прямоугольника, значит
KА⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
KА - расстояние от точки К до стороны АВ.

DC⊥BC как стороны прямоугольника,
DС - проекция КС на плоскость АВС, значит
КС⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
КС - расстояние от точки К до стороны ВС.

AD = BC = 20 см
АВ = CD = Sabcd / AD = 180 / 20 = 9 см

ΔADK: по теореме Пифагора
             АК = √(DA² + DK²) = √(400+ 144) = √544 = 4√34 см

ΔCDK:  по теореме Пифагора
             CK = √(DK² + DC²) = √(144 + 81) = √225 = 15 см

ответ:
d(K ; AB) = AK = 4√34 см
d(K ; BC) = KC = 15 см
d(K ; CD) = KD = 12 см
d(K ; AD) = KD = 12 см

1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.

ответ: в)

2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то

∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.

∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°

3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.

360° / n < 90°

4 / n < 1

n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.

4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:

18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.

Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:

18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.

ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.

5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.

ответ: б)

6. ∠1 + ∠2 < ∠3

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.

Подставим в первое неравенство:

180° - ∠3 < ∠3

2∠3 > 180°

∠3 > 90°

Значит треугольник тупоугольный.

ответ: в)

7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:

x + x + 2x = 180°

4x = 180°

x = 45°

Углы треугольника 45°, 45° и 90°.

ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.

8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.

ответ: 2 треугольника.

Часть В.

1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см

BC = AB, CD = AD,⇒

Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см

2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.

В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,

АВ = АМ = 6 см.

3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:

∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:

∠1 + ∠2 = 45°.

В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°

4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда

∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.

ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°

5. Неточность в условии:

Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.

∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:

∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°

Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:

∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°

6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.

OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.

Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.

Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит

OF = OE = 8 см