Отрезки ab и ac являются отрезками касательных к окружности с центром o, проведенными из точки a. найдите угол bac, если середина отрезка ao лежит на окружности.

соединим с и в с центром окружности о.

получим два равных прямоугольных треугольника оса и ова

в этих треугольниках отрезок оа является гипотенузой, которая равна двум радиусам ( по условию , так как его середина лежит на окружности и потому половина этого отрезка равна радиусу).

отсюда угол сао равен 30˚, так как со равен половине ао.

тогда угол сав равне 2 угла сао и равен 60˚ .

отрезки касательных к окружности проведенные из одной точки равны и составляют равные углы с прямой проходящей через эту точку и центр окружности, значит ма=мв.  расстояние от точки m до хорды ab равное 9 есть перпендикуляр мн к хорде ав, угол амн=вмн. на=нв=0,5ав. пусть ан=нв=х. по теореме пифагора ма=√x^2+81, mo=9+√400-x^2.  площадь треугольника мао равна половине произведения его катетов ма и мо а также  поделив пополам произведение гипотенузы на высоту к гипотенузе mo * aн / 2. составляем и приравниваем выражения для площади: √(x^2 + 9^2) * 20 = (9 +√(20^2 - x^2)) * x

  как икс нашли раскрываем скобки, возводим обе части в квадрат400 (x^2 + 81) = 81 x^2 + 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2) + 400x^2 - x^4400 x^2 - 81 x^2 - 400 x^2 + x^4 + 32400 = 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2)x^4 - 81 x^2 + 32400 = 18 x^2 sqrt(20^2 - x^2)снова возводим в квадратx^8 - 162*x^6 + 71361*x^4 - 5248800*x^2 + 1049760000 =129600*x^4 - 324* x^6x^8 + 162 x^6 - 58239 x^4 - 5248800 x^2 + 1049760000 = 0(x^4 + 81*x^2 - 32400)^2 = 0теперь уже решается биквадратное уравнениеt^2 + 81 t - 32400 = 0t1,2 = (-81 +- sqrt(6561 + 4*32400))/2 = (-81 + - 369)/2отрицательный корень отбрасываемt = 144x = +- 12 отрицательный корень снова не нужен

 

  x = 12ab =2x=24

Для восприятия лучше начертить чертёж.  имеем две наклонные к прямой а: ва и вс, опустим перпендикуляр из точки в на прямую а и обозначим его как d. получили аd  проекция наклонной ва, а cd - проекция наклонной вс. из условия ad=cd+11.  теперь рассмотрим треугольники abd и  cbd они прямоугольные и катет bd у них общий, запишем уравнения для его отыскания по теореме пифагора: bd²=ab²-ad² - для треугольника abd bd²=bc²-cd² - для треугольника cbd можно записать равенство ab²-ad²=bc²-cd² вместо ad запишем cd+11 ab²-(cd+11)²=bc²-cd² подставляем известные нам значения и решаем уравнение 20²-(cd²+22cd+11²)=13²-cd² 400-cd²-22cd-121-169+cd²=0 -22cd=-110 cd=110: 22=5 см - нашли проекцию наклонной вс ad=cd+11=5+11=16 см - проекция наклонной ва