Шар радиусом R описан вокруг правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой образуют с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды

ПУсть плоскость проведенная через середины ребер AB, BC, BB1 пересекает эти ребра в точках N, M, K соответственно.

Δ BMN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол M=углу N = 45 градусов

Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу C = 45 градусов

==>

MN || AC(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  ВС)

 

Δ BКN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол К=углу N = 45 градусов

Δ ABB1 - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу B1 = 45 градусов

==>

AB1 || KN(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  ВB1)

==>

плоскость ACB1 || KMN

 

Δ ACB1 - равносторонний(AB1=B1C=AC)

рассмотрим Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный, ==>

по т-ме Пифагора AC^2 = AD^2+CD^2 = 2*AD^2       AC= AD* корень из 2 = 2корня из 2

Pacb1 = 3*AC = 6корней из 2

 

пусть AB=26, а BC=32, а угол ABC=150 градусов. тогда, рассмотрим треугольник ABC:

по теореме косинусов AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosABC

потом рассмотришь треугольник BDC, в котором угол BCD=30 градусов (сумма соседних углов в паралеллограмме равна 180 градусам)

по теореме косинусов BD^2=CD^2+BC^2-2*CD*BC*cosBCD

потом из треугольника BOC опять же по теореме косинусов находишь косинус угла BOC

по основному тригонометрическому тождеству (sin^2(x) + cos^2(x)=1) находишь синус угла BOC

потом применяешь формулу площади параллелограмма: S=1/2*BD*AC*sinBOC