В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 2. а) Докажите, что угол между прямыми BD и CD1 равен 60°. б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

Пусть А - начало координат

Ось Х - АВ

Ось У - АD

Ось Z - AA1

Вектора

ВD ( -2;2;0)

CD1 ( -2;0;2)

AB(2;0;0)

AC (2;2;0)

BC1( 0;2;2)

Косинус Угла между BD и СD1

| BD * CD1 | / | BD | / | CD1 | =

4 / √ (4+4) / √ (4+4) = 1/2

Угол 60°

| АС ; ВС1 | = | АВ * АСхВС1 | / | АСхВС1 | = 8 / √( 16+ 16 +16 ) = 2/√3

Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. Чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон. 
Квадрат отличается от прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей. 
У полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон исходного прямоугольника. 
Поскольку исходный прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и полученный при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей. 
значит, это квадрат. 

Сечение FA1C1D- прямоугольник, т.к. грани , содержащие стороны А1F и C1D параллельны между собой и перпендикулярны основанию.
Площадь сечения - площадь прямоугольника со сторонами А1F (длина) и DF (ширина)
Ширина DF равна удвоенной длине высоты FН  равностороннего треугольника в основании призмы  со стороной 6. 
FH=FE*sin (60°)
DF=2*FН=2*(6√3):2=6√3 cм
А1F=10 ( треугольник АА1Ф - египетский, можно проверить по т. Пифагора)
S A1C1DF= 10*6√3=60√3 см²
Угол между сечением и плоскостью основания - это угол А1FA на грани А1F1FA
Его синус равен A1A:A1F=8:10=0,8, а градусная величина
приблизительно 53°