На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M, N, K, L так что точки M, N делят на 3 равные части сторону AB; K, L делят на 3 равные части CD. Докажите что площадь четырёхугольника MNKL равна 1/3 площади четырёхугольника ABCD.

если провести высоту, то ромб делится на прямоугольный треугольник и на прямоугольную трапецию. обозначим высоту за ВЕ и также является большим катетом прямоугольного треугольника. АЕ является меньшим катетом и он равен 7 см. по условию. т.к. у ромба все стороны равны (параллелограм, все стороны которого равны, называется ромбом), ,то АВ (гипотенуза) равна 7 + 18 = 25 см. Итак, найдем ВЕ (высоту; большой катет) по теореме Пифагора:

7^2 + BE^2 = 25^2

BE^2 = 25^2 - 7^2

BE^2 = 576

BE = 24 см. б. катет

и найдем площадь этого трег - ка:

формула: 0,5ав   а - катет; и - другой катет

0,5 * 7 * 24 = 84 см^2 площадь трег - ка

Найдем площадь трапеции: 

Прямоугольная трапеция отличается только тем, что у нее высота совпадает с боковой стороной. 
S = (a + b)*h/2 

а = 18 см. ; в - 25 см. h = 24 см.

(18+25)*24/2 = 516 см^2 площадь трапеции

ответ: 84см в кв.; 516 см. в кв.

Дано: стороны параллелограмма а = 40см, в = 60см.

          диагонали параллелограмма: d1 - d2 = 8cм.

Найти: d1, d2.

Решение: в соответствии с условием задачи имеем 1-е уравнение:

d1 - d2 = 8   (1)

2-е уравнение составляется по свойству диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

d1² + d2² = 2(a² + в²)

d1² + d2² = 2(40² + 60²)

или

d1² + d2² = 10400   (2)

Из уравнения (1) получаем

d1 = 8 + d2     (3)

Подставим (3) в (2)

(8 + d2)² + d2² = 10400

64 + 16·d2 + d2² + d2² = 10400

2·d2² + 16·d2 - 10336 = 0

или

d2² + 8·d2 - 5168 = 0

D = 64 + 4·5168 = 20736

√D = 144

d2₁ = (-8 - 144):2 = -76 (не является решением, т.к. диагональ не может быть отрицательной.

d2₂ = (-8 + 144):2 = 68(см)

Подставим d2 в (3)

d1 = 8 + 68 = 76(см)

ответ: диагонали параллелограмма равны 68см и 76см.