У середині гострого кута лежить точка М. Знайти на сторонах кута такі точки А та В , щоб периметр трикутника МАВ був найменшим.

1)

1 угол равен 93 градусов, значит

угол 2 + угол + 3 угол= 180 градусов - 93 градуса.(по сумме внутр. углов треугольника)

2 + угол 3 угол = 87 градусам

Угол 2 = 87/2= 43,5 градусов (потому что треугольник равнобедренный, значит 2 стороны равны), тогда

угол 3 тоже = 43,5 градусам

2) 1 угол равен 140 градусам, значит

угол 2 + угол 3= 180-140(по сумме вутр. углов треугольника)

угол 2 + угол 3= 40 градусов

угол 2= 40/2 = 20 градусов(т.к. треугольник равнобренный, значит 2 стороны равны), тогда

угол 3 тоже равен 20 градусам.

  МК - ось симметрии, ⇒ все точки АВ и СD находятся от неё на равном расстоянии. ВМ=СМ=АК=DK.

а) Диагонали  прямоугольника АС=ВD   и точкой пересечения О делятся пополам ( свойство диагоналей прямоугольника).

Отрезки  ВМ=АК, а РМ=РК по условию⇒  ∆ МВР = ∆ КАР  по катету и гипотенузе.  ВР=АР, а ∆ МРК - равнобедренный, МО=ОК. В ∆ АВС. отрезок РМ - средняя линия и параллелен диагонали АС. В ∆ АСD АК=КD, КТ║РМ по условию. Если одна из двух  параллельных прямых параллельна третьей, то и вторая ей параллельна. ⇒  КТ║АС – средняя линия ∆ ADC. КТ=АС:2=РМ.  Так как  КТ - средняя линия ∆ АСD, то, точка Т - середина СD, из чего следует МТ - средняя линия ∆ ВСD.  МТ и РК равны половине ВD, следовательно, равны между собой. Стороны четырехугольника КРМТ равны, следовательно, РМТК - ромб.

б) Вершины РМТК - середины сторон прямоугольника, его диагонали РТ и МК пересекаются под прямым углом и делят исходный прямоугольник на четыре равных меньшего размера. Диагонали этих меньших прямоугольников равны. ⇒ РК=АО=ОС, что и требовалось доказать.