Образующая конуса равная 8 см, наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания конуса, если а=45°.

32π  см²

Объяснение:

Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного ею, высотой и радиусом основания конуса.Если угол наклона к плоскости основания 45°,то этот треугольник равнобедренный: высота равна радиусу основания.Принимаем радиус основания за х,тогда по теореме Пифагора:

c²=2x²

8²=2x²

x²=64:2

x²=32

x=√32=4√2 см

Sосн.=πr²=(4√2)²π=32π  см²

7.(2б)

Найти угол между стороной AB и медианой BB₁ треугольника ABC :

A(3; 5; 0) , B(0 ; - 6; 0)  , C(3 ;1 ;0) .     AB₁=CB₁ = AC/2  =  2

∠ABB₁  -?

- - - - - - - - - - --

B₁ (3 ; 3; 0) _середина стороны AC    * * * (3+3) /2 ; (5+1)/2 ; (0+0)/2 * * *

BA { 3 ; 11 ; 0 }              * * * 3 -0 ; 5 -(-6) ; 0 -0 * * *

BB₁ { 3 ;  9 ; 0 }              * * * 3 -0 ; 3 -(-6) ; 0 -0  * * *

cos(∠(BA, BB₁) )  = BA*BB₁ / |BA|*|BB₁|  =

(3*3+11*9 +0*0)/√(3²+11²+0²)*√(3²+9²+0²) =108/√130*√90 =

108/ 30 √13 =3,6 / √13 .            

* * *  !  3,6 /√13 =(√3,6²) /√13 =√12,96 /√13  < 1   * * *  

     ∠(BA, BB₁) =arccos(3,6 /√13  )    

BA*BB₁ - скалярное произведение векторов  BA и BB₁

|BA| и |BB₁|  -  модули  векторов  BA и BB₁

- - - - - - - -

8.(2б)

B(2 ; - 1; - 1)  , A(2 ; 2 ; - 4) , C(3 ; - 1 ; -2) ,

BA { 0 ; 3 ; -3}  ;  BC { 1 ; 0 ; - 1}

cos(∠(BA, BC) )  = BA*BB / |BA|*|BC|  

BA*BC - скалярное произведение векторов  BA и BC

|BA| и |BC|  -  модули  векторов  BA и BC

* * * ∠(BA, BC) =  ∠B * * *

cos∠B = cos(∠(BA, BC) )= (0*1+3*0 + (-3)*(-1) )/√(0²+3²+(-3)² )*√(1²+0²+(-1)²) =

3/√18*√2  = 3/6 =1/2   ⇒    ∠B =60 °

Внешний  угол при вершине B будет  180° - ∠B = 180° - 60 ° = 120°

- - - - - - - -

9.(2б)  Центр сферы A(4 ; -4 ; 2) ,  O(0 ; 0 ;0) ∈ поверхности сферы

* * *(x - x₀)²+(y - y₀)²+ (z - z₀)² = R²  уравнение сферы радиусом R , центр которой в точке  A( x₀; y₀ ; z₀)  * * *

(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² = R²    Нужно найти  R

Т.к. O(0 ; 0 ;0)  ∈ поверхности сферы ,то

(0 - 4)²+(0 +4)²+ (0 -2)² = R² ⇔  R² =36      

следовательно

(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² =  36                * * * R² =6² * * *

S = √3 ед².

Объяснение:

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке О.  

В равнобедренном треугольнике ВОС угол ВОС = 120°, как смежный с углом АОВ, который равен 60° по условию. Тогда ∠ОСВ = 30°, как угол при основании равнобедренного треугольника. ∠CAD = 30°, как накрест лежащий с ∠ОСВ = 30° при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС.

В прямоугольном  треугольнике АСН катет СН лежит против угла 30 градусов => АС = 2·СН. АН = √3. Тогда по Пифагору  

(2·СН)² - СН² = АН² или 3·СН² = 3. =>  СН = 1 ед.

Отрезок АН равен полусумме оснований (свойство высоты, опущенной на большее основание равнобедренной трапеции, которая делит это основание на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований).   Итак, полусумма оснований равна √3 (дано). Тогда площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть: √3·1 = √3 ед².