Через малый катет треугольника, с углами 30o, 60o и 90o, проведена плоскость, и она составляет 45o с плоскостью треугольника. Найдите синус угла между плоскостью и гипотенузой этого треугольника.

............................................

а) 2√3   б) 6.    

Объяснение:

Условие задачи.

Сторона AB, равная 8, правильного треугольника ABC лежит в плоскости альфа, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2√7. Найдите: а) длину проекций медианы CK данного треугольника на плоскость альфа; б) расстояние от точки C до плоскости альфа

Решение.

1) Так как  ΔАВС - правильный, то АВ = ВС = АС = 8.

2) В правильном треугольнике АВС его медиана СК является высотой, соответственно и в проекции АВС₁  треугольника АВС на плоскость α проекция С₁K медианы СК является и медианой, и высотой равнобедренного ΔАВС₁ со сторонами: АВ = 8, ВС₁ = АС₁ = 2√7.

3) В прямоугольном ΔАКС₁ сторона АС₁ является гипотенузой, а стороны АК и КС₁ являются катетами, при этом АК = АВ/2 = 8/2 = 4.

По теореме Пифагора находим длину проекции медианы:

С₁K = √ ((АС₁)²-(АК)²) = √ ((2√7)²-(4)²) = √ (4*7 - 16) = √12 = 2√3

Таким образом, длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость α = 2√3

4) В прямоугольном ΔАСС₁, образованном стороной АС треугольника АВС, её проекцией АС₁ на плоскость α, а также перпендикуляром СС₁, опущенным из точки С на плоскость α и являющимся кратчайшим расстоянием от точки С до плоскости α, сторона АС является гипотенузой треугольника АСС₁, а стороны АС₁ и СС₁ - его катетами. ПО теореме Пифагора находим СС₁:

СС₁ = √ ((АС)²-(АС₁)²) = √ ((8)²-(2√7)²) = √ (64 - 4*7) = √36 = 6.

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.

ответ: а) длина проекции медианы CK данного треугольника на плоскость альфа равна 2√3; б) расстояние от точки C до плоскости альфа равно 6.

Дано: АВС - рівнобедренний трикутник. ВМ - висота. D i E - середини АВ і ВС.

Довести: <DMB=<MBE

Доведення:

Розглянемо трикутники DMB i MBE

Висота в рівнобедренному трикутнику, проведена до основи, є одночасно бісектрисою і медіаною.

Тому

1) <АВМ=<СВМ.

(За умовою АВ=ВС, точки D i E ділять сторони навпіл, тобто AD=DB=BE=EC.)

2) DB=BE.

3) BM - спільна сторона.

Отже трикутники DMB i MBE рівні за першою ознакою рівності трикутників (дві сторони і кут між ними).

Оскільки трикутники рівні, то і всі їх кути рівні.

Доведено.