Треугольник ABC равнобедренный, AB=BC=13, AC=10. Найдите расстояние от вершины B до точек пересечения: а) медиан; б) биссектрис; в) серединных перпендикуляров; г) высот.

Дан треугольник ABC равнобедренный, AB=BC=13, AC=10.

То, что треугольник равнобедренный, упрощает задание. Можно применять более простые решения.

Находим высоту из точки В: BF = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = 12.

Найти расстояние от вершины B до точек пересечения:

а) медиан: BG = (2/3)*12 = 8.

б) биссектрис - это центр вписанной окружности.

Площадь АВС = (1/2)10*12 = 60 кв.ед.

Полупериметр р = (2*13 + 10)/2 = 36/2 = 18.

r = S/p = 60/18 = 10/3.

Тогда BL = 12 - (10/3) = 26/3.

в) серединных перпендикуляров;

Косинус половины угла В равен 12/13.

Отсюда BH = 6.5/(12/13) = (13/2)*(13/12) = 169/24.

г) высот. Используем подобие треугольников.

BI = 12 - 5*tg(IAF) = 12 - 5*(5/12) = 119/12.

Плоскость ASC перпендикулярна основанию.
Опустим из точки О перпендикуляр на ребро SC в точку К.
Тогда угол ОКD и будет искомым углом между плоскостями ASC и DSC.
Найдём длину ОК из треугольника ОКС.
OK = ОС*sin 60°.
ОС = OD.
Треугольник ОКD - прямоугольный с прямым углом О.
Катет ОD - это половина диагонали основания (квадрата), он равен:
ОD = (1/2)ВD = (1/2)*(18√2) = 9√2.
OK = ОС*sin 60° = 9√2*(√3/2) = 9√6/2.
Тогда искомый угол ОКD равен:
tg ОКD = ОD/OK = 9√2/(9√6/2) = 2/√3 =2√3/3.
Угол ОКD = arg tg (2√3/3) = arc tg1,154701 = 0,857072 радиан = 49,10661°.

Если диагональ квадрата равна 12, то сторона квадрата
a = 13/√2 ≈ 9,19
меньше диаметра цилиндра, равного
d = 6*2 = 12.
И возможны два варианта размещения квадрата в цилиндре -
а) тривиальный. Квадрат вертикален, его плоскость параллельна оси цилиндра. Высота цилиндра равна стороне квадрата,
h = 13/√2
б) наклонный, центр квадрата совпадает с центром цилиндра
На рисунке проекция квадрата на основание - синяя
b - проекция наклонной стороны квадрата на плоскость основания
По Пифагору:
a² + b² = d²
b² = 12²- (13/√2)² = 12² - 13²/2 = 144 - 169/2 = 119/2
b = √(119/2)
И теперь ещё раз по теореме Пифагора, но уже для вертикально расположенного прямоугольного треугольника
h² + b² = a²
h² = a² - b² = (13/√2)² - (√(119/2))² = 169/2 - 119/2 = 50/2 = 25
h = √25 = 5
И это ответ :)