Через точку M проведены две прямые a и b, которые пересекают две параллельные плоскости α и β. Первую в точках A1 и A2, вторую - в точках B1 и B2. Найдите MA1 и MB2, если A1A2:B1B2=3:4 , A1B1=3, 6, MA2=0, 9. В ответ запишите сумму длин сторон MA1 и MB2.

Т.к. плоскость В₁МВ₂ пересекается с параллельными плоскостями α и β, то линии их пересечения параллельны. А₂А₁║В₂В₁; Треугольники А₁МА₂ и В₁МВ₂ подобны по первому признаку подобия. /угол М- общий, углы А₁ и В₁ равны как соответственные при А₁А₂ В₁В₂ и секущей МВ₁/, отсюда следует  А₁А₂/В₁В₂=МА₂/МВ₂; 3/4=0.9/МВ₂, МВ₂=4*0.9/3=1.2; Пусть МА₁=х, тогда МВ₁=х+3.6;  х/(х+3.6)=3/4; 4х=3х+10.8; х=10.8; МА₁=10.8; МВ₁=10.8+3.6=14.4;

Значит, МА₁+МВ₂=10.8+1.2=12

ответ 12

Теорема 2
1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство: Пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую х2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А1 пересечения прямой а1 с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости , то прямые а1 и x1перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости . А это ( по определению )значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Смотри также опорную задачу №2.

Теорема 3
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство: Пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости . Допутим, что прямые а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b1, параллельную прямой а. Прямая b1 перпендикулярна плоскости по теореме 2. Пусть В и В1 - точки пересечения прямых b и b1 с плоскостью . Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

1) угол BAC=42-вписанный и опирается на дугу СВ, следовательно, по свойству вписанного угла, дуга СВ=2*42=84
Угол BOC-центральный и опирается на дугу СВ, следовательно, по свойству центрального угла, угол ВОС=дуге СВ=84

2) угол МОС = 90
Дуга СД- полуокружность =180
Из этих двух следует, что дугаСМ=дуге МД= 90 ( по свойству центрального угла)

Угол МСД вписанный и опирается на дугу МД=90, следовательно, угол МСД=45 (по свойству вписанного угла)

Угол МДС вписанный и опирается на дугу МС=90, следовательно, угол МДС = 45 (по свойству вписанного угла)

Угол МДС =180-45-45=90