Меньшая диагональ ромба 16√3 см, а острый угол равен 60 градусов. Найдите радиус вписанной окружности и площадь ромба.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб: r = Dd/4а, где D, d –   диагонали ромба, а – его сторона.

По условию меньшая диагональ – 16√3 см, тогда половина данной диагонали – 8√3.

Так как острый угол равен 60°, то диагональ делит его на два угла по 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза, она же сторона ромба, равна 16√3.

Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю – равносторонний. Найдем высоту, она же половина большей диагонали, по формуле:

h = а√3/2 = 16√3·√3 / 2 = 8·3 = 24 см

Тогда большая диагональ D = 24·2 = 48 см

r = Dd/4а = 48·16√3 / 4·16√3 = 12 см

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:

S = 1/2 d₁d₂ = 1/2 Dd = 1/2·48·16√3 = 384√3 см²

ответ: r = 12 см; S = 384√3 см²

В трапеции ABCD боковые стороны AB=CD=13 см, .основания BC=15см ,AD=21 . ОПУСТИМ на основание АD высоты BE И СF. тогда EF=BC=15см  
              AD-EF                    36 - 12      
AE=FD=     2        =         =         2      =     12  см       
            применив теорему пифагора к прямоугольному треугольнику ABE найдём высоту BE 
                 BE²=AB²-AE²=13²-12²=169-144= 25  или BE=5 см 
найдем  площадь трапеции    :
                      S ( ABCD)= (BC+AD): 2  ×BE=(15+21):2×5 =36:2×5=90см² ответ: 90 см ²

Пусть ABC - равнобедренный

∟B = 120 °, АС = 18 см, АК - высота.  

В ΔАВС проведем высоту BD к основанию АС.  

По свойству равнобедренного треугольника BD - биссектриса и медиана

AD = DC = 1 / 2AC = 18: 2 = 9 (см) (BD - медиана).  

∟AВD = ∟DBC = 1 / 2∟В = 120 °: 2 = 60 ° (BD - биссектриса).  

Рассмотрим ΔABD - прямоугольный (∟D = 90 °, BD - высота):  

∟BAD + ∟ABD = 90 °; ∟BAD = 30 °; ∟BAD = ∟BCD = 30 ° (ΔABC - равнобедренный).  

Рассмотрим ΔАКС (∟К = 90 °, АК - высота):  

АК - катет, лежащий напротив угла 30 °, тогда АК = 1 / 2АС; АК = 18: 2 = 9 (см).

ответ: Высота AK= 9 см