В равнобедренном треугольнике MNK MN = NK, NE – биссектриса, ∠M = 50°. Найди углы треугольника MNE.

Вот, держи, думаю понятно

 Сделаем рисунок.
Проведем в треугольнике АВС еще одну высоту СЕ. 
СЕ=АН, так как треугольник АВС равнобедренный, и высоты к равным сторонам равны. 
Поэтому ЕК=3, КС=5 
Из треугольника АЕК можно найти АЕ по т. Пифагора, но этот треугольник египетский, и АЕ равна 4. 
ВМ - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС.  Биссектриса треугольника делит сторону, которую пересекает,  на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 
ВК  делит в треугольнике АВН сторону АН в отношении, равном отношению АК:КН 
АВ:ВН=АК:КН=5:3
 АВ:ВН=5:3 
3АВ=5ВЕ. 
Так как ВН=ВЕ, АВ=ВН+4 
3(ВН+4)=5ВН 
3ВН+12=5 ВН 
2ВН=12см 
ВН=6см 
АВ=ВН+4=6+4=10см 
SАВК=КЕ*АВ:2=3*10:2=15см². 

Может не быстро, но надеюсь, что понятно.
Так как треугольник равнобедренный, то медиана ВК, это и биссектриса, и высота, значит угол КВС = 120/2 = 60, а треугольник ВКС – прямоугольный. Отсюда имеем:
ВК = КС/tg(BKC) = 3*sqrt(7)/sqrt(3) = sqrt(21)
Пусть медианы пересекаются в точке О (есть такая теорема о пересечении медиан в одной точке в любом треугольнике, кстати, её легко доказать). Кроме того, отрезки медиан треугольника относятся в точке пересечения, как 1:2. Так как треугольник ОКА прямоугольный, получаем:
АO^2 = AK^2 + OK^2 = AK^2 + (1/3 *BK)^2 = 63 + 21/9 = 588/9 = 14/sqrt(3)
Медиана АМ = 14/sqrt(3) * 3/2 = 7*sqrt(3)
Что непонятно, спрашивай…