острый угол прямоугольного треугольника равен 30, а его гипотенуза - 24 см. его высота от прямого угла делит гипотенузу на части?

Порой нужно доказать и очевидное. 
Обозначим центры окружностей К и М, а точку пересечения АВ и прямой КМ - Н. 
Боковые стороны ∆ АКВ -  радиусы, ⇒ ∆ АКВ - равнобедренный.⇒
∠КАВ=∠ КВА
Боковые стороны ∆ АМВ радиусы, ⇒ ∆ АМВ равнобедренный. ⇒
∠МАВ=∠МВА
В треугольниках КАМ и КВМ углы при А и В - сумма равных углов. ⇒
∠КАМ=∠КВМ
стороны КА=КВ, АМ=ВМ⇒
∆ КАМ=∆КВМ по двум сторонам и углу между ними. ⇒
∠АКН=∠ВКН, и ∆ АКН=∆ ВКН. ⇒
АН=ВН, и тогда КН - медиана равнобедренного ∆ АКВ, и его биссектриса и высота. ⇒
КН⊥АВ, что и требовалось доказать. 

Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

 Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

ВС+АД=АВ+СД=120:2=60

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

Средняя линия равна (АД+ВС):2=30

ВН и СК - высоты трапеции. 

Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

ВН= 540*30=18

Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД

Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН:

АН=√(30²-18²)=24

ВС+НК+АН+КД=60

ВС=НК; АН=ДК

2 ВС+2*24=60

2 ВС=12

ВС=6

Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

Сумма их высот равна высоте трапеции =18 

Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

Тогда ВС:АД=х:(18-х)

6:(6+48)=х:(18-х) 

Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

Это и есть искомое расстояние.