Один угол параллелограмма равен на 30°, найдите остальные углы?​

90градусова

Проведем АН - биссектрису угла А.  Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника),  <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем  КН параллельно АС.  

KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:  

КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).  

Итак, DM= BH*Cosα.   В треугольнике АВН по теореме синусов:

BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α.  => AB=BH*Sin2α/Sinα.

Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα  =>

АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.

DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2.  => DM=2AB, что и требовалось доказать.

Подставим координаты точек А и В в уравнение эллипса с учётом того, что он симметричный относительно осей координат.

(200/9а²) + (4/9в²) = 1,

(50/4а²) + (1/в²) = 1.

Приводим к общему знаменателю.

200в² + 4а² = 9а²в².

50в² + 4а² = 4а²в².

Умножим обе части первого уравнения на 4, а второго на 9.

800в² + 16а² = 36а²в².

450в² +36а² = 36а²в².

Вычтем из первого второе.

350в² + 20а² = 0.

Отсюда получаем а² = (35/2)в² и подставим во второе уравнение.5

50в² + 70в² = 70в⁴.

Получаем биквадратное уравнение  70в⁴ - 120в² = 0.

Сократим на 10 и сделаем замену в² = t.

7t² - 12t = 0,

t(7t - 12) = 0. t1 = 0, t2 = 12/7.

Отсюда находим значение полуосей:

в1 = 0 (не принимаем) и в2 = +-√(12/7) =+-2√(3/7).

а = +-√((35/7)*(12/7)) = +-√30.

ответ: |а| = √30,  |b| = 2√(3/7).