Диагональ прямоугольника равна 10 а угол между диагоналями равен 60, найдите площадь.

площадь прямоугольника можно найти как   1/2 произведения его  диагоналей на синус угла между ними. 

s=(ac x bd): 2 x sin60, s=(10 x 10): 2 x  √3/2= 25 √3 

из большого угла проводим высоту к основанию, получаем прямоугольник и прямоугольный треугольник, находим углы в треугольнике.. основания в трапеции параллельны, поэтому проведенная высота дает прямой угол и к нижнему и к верхнему основания, тогда смотрим на больший угол равный 135, вычитаем из него прямой, получаем 45град, отсюда понимаем, что полученный треугольник прямоугольный равнобедренный, у нас известна гипотенуза, а квадрат гипотенузы, равен сумме квадратов катетов - находим катеты: [latex](5sqrt{2})^{2}=25*2=50 \ 50/2 =25, \ sqrt{25}=5[/latex] (находим квадрат гипотенузы, делим его на 2, и извлекаем корень квадратный, получаем катет) катет является и высотой, значит высота равна 5см, а длина прямоугольника равна 12-5=7см находим площадь трапеции: -площадь прямоугольника=7*5=35 -площадь треугольника=(5*5)/2=12.5 площадь трапеции=35+12.5=47,5см

проведем сечение пирамиды через высоту и cередину стороны основания. получим сечение шара в виде круга, который касается основания в его центре н и касается апофемы в точке к. он и ок - радиусы шара, равны r. ом - биссектриса угла α.

r/tgα/2 =hm. это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, значит сторона основания   а = нм*√3 = r√3/tgα/2.

площадь треугольника равна а²√3/4 = 3√3r²/4tg²α/2.

высоту пирамиды находим из треугольника нмs,

hs=hm*tgα = rtgα / tgα/2.

  теперь объем v= 1/3 *   3√3r²/ 4tg²α/2 * rtgα/tgα/2 = r³√3 tgα/4tg³α/2.