Abcd- прямоугольная трапеция. угол a =90 гградусов. точка e лежит на основании ad так, что ce перпендикулярно ad и ae=de. точка o середина диогонали ac. докажите, что bo: bc=cd: ad. найдите площадь пятиугольника abocd, если площадь acd равна 20квадратным сантиметрам.

  основания трапеции параллельны.

вс║аd, ав- секущая.

∠а=90°(дано) ⇒ ∠в=90°

се⊥аd⇒ авсd- прямоугольник.

се=ав

  диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 

а) ∆ вос=∆ аое

е - середина аd, о - середина ас. ⇒

ое - средняя линия ∆ асd  и параллельна сd. 

    ∆ acd и ∆ аое подобны ( равны соответственные углы при основаниях). т.к. ∆ вос=∆ аое,  то и ∆ вос подобен ∆ асd

  в подобных треугольниках отношение сходственных сторон равны  ⇒    во: вс=сd: ad 

б) се - высота ∆ асd, ае=еd.

  треугольники асе и dce равны по двум катетам.

площадь ∆ асе=∆ dсе= 20: 2=10 см²

в прямоугольных ∆ вае и ∆ сеd равны катеты. ⇒

∆ аве = ∆ сеd

в ∆ аве отрезок ао медиана, 

    медиана треугольника делит его на равновеликие  треугольники. 

аов и аое равновелики.

ѕ аов=0,5•ѕ(аве)=10: 2=5см²

ѕ abocd=s(acd)+s(abo)=20+5=25 см²

свойство параллельного проецирования:   проекции двух скрещивающихся (не пересекающихся) прямых линий в зависимости от направления проецирования могут пересекаться либо быть параллельными.  

если плоскости α и β   пересекаются,   прямые   a и b лежат в двух разных плоскостях, перпендикулярных линии пересечения плоскостей   α и β,   то проекции таких прямых на плоскости будут параллельны, однако сами прямые могут быть скрещивающимися. то есть по параллельным проекциям прямых на пересекающиеся плоскости нельзя утверждать, что сами прямые параллельны.

на рисунке пример, когда плоскости α и β   не ортогональны и прямые параллельны плоскостям : а║α,   b║β.

местом точек пространства равно удаленных от двух данных точек и , является плоскость , перпендикулярная к отрезку прямой, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

находим координаты точки а как середины отрезка ов: а(1; 1,5; 2,5).

направляющий вектор прямой ов (координаты о равны нулям) равен значениям координат точки в: ов(2; 3; 5).

уравнение плоскости, которая проходит через точку (x0,y0,z0) перпендикулярно вектору (a,b,c) имеет вид

a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.

2(x−1)+3(y−1,5)+5(z−2,5)=0.

ответ: это плоскость с уравнением 2x + 3y+ 5z - 19 = 0.